立体几何中的截面问题及球的切接问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 立体几何中的截面问题及球的切接问题) 1．立体几何中的截面问题 (1)平面截球：圆(圆面)． (2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形． (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形． 2．球的切接问题 (1)长方体的外接球 ①球心：体对角线的交点； ②半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)． (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 ①外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)； ②内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)； ③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)． (3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) ①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)； ②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)． 题型一　立体几何中的截面问题 【例1】 (1)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A. B. C. D. (2)(2021·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(　　) A．7π B．9π C．11π D．13π 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，即截面EFGHIJ为平面α截正方体所得最大截面．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A. (2)设球的球心为O，由圆M的面积为4π得圆M的半径为2，则|OM|＝＝2，又因为圆N所在的平面β与圆M所在的平面α所成的角为60°，则∠OMN＝30°，且ON⊥MN，则sin∠OMN＝，即sin 30°＝，解得|ON|＝，则圆N的半径r＝＝，圆N的面积为πr2＝13π，故选D. 感悟升华　此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化． 【训练1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π (2)(2020·名校仿真训练五)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1与C1B1的中点，则经过点B，E，F的平面截正方体所得的封闭图形的面积为(　　) A. B．3 C. D. 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B. (2)如图，经过点B，E，F的平面BEF截正方体所得截面为四边形BDEF，因为E，F分别是C1D1，C1B1的中点，正方体的棱长为2，所以EF∥BD，且EF＝BD，所以四边形BDEF是下底为BD＝2，上底为EF＝的等腰梯形．在Rt△BB1F中，由勾股定理可得DE＝BF＝，过点F在平面BDEF内作FG⊥BD于点G，由等腰梯形的性质用勾股定理可得FG＝，即梯形BDEF的高为，所以梯形BDEF的面积为(2＋)×＝，故选A. 题型二　外接球问题 【例2】 (1)已知底面边长为1，侧棱长的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上，则该球的体积为(　　) A. B．4π C．2π D. (2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A. B．2 C. D．3 (3)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A. B．16π C．9π D. (4)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，SA⊥AC，SB⊥BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则