立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围)问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围)问题) 1．翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材．解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化．解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析和解决问题．而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试． 2．在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 3．立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积、体积的最值．其一般方法有： (1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等求出最值． 题型一　立体几何中的翻折问题 【例1】 (2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②. (1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图②中的二面角B－CG－A的大小． (1)证明　由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG， 所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE， 所以AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解　作EH⊥BC，垂足为H. 因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC， 所以EH⊥平面ABC. 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝. 以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，＝(1，0，)，＝(2，－1，0)． 设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以可取n＝(3，6，－)． 又平面BCGE的法向量可取m＝(0，1，0)， 所以cos〈n，m〉＝＝. 因此二面角B－CG－A的大小为30°. 【训练1】 (2021·浙江名师预测卷四)在梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AD＝2AB＝2BC＝2CD.将△BCD沿BD翻折至△BPD，且满足平面ABP⊥平面BPD. (1)求证：二面角P－BD－A是直二面角； (2)(一题多解)求直线PD与平面PAO所成角的正弦值的大小． (1)证明　由已知条件易得∠BAD＝60°，∠BDA＝30°，AB⊥BD. 在△BPD中，过点D作DH⊥BP，交BP的延长线于点H. ∵平面ABP⊥平面BPD，平面ABP∩平面BPD＝BP， ∴DH⊥平面ABP， ∵AB⊂平面ABP，∴DH⊥AB. 又∵BD∩DH＝D，∴AB⊥平面BPD， ∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BPD. 即二面角P－BD－A是直二面角． (2)解　法一　过点P作PG⊥BD，交BD于点G，则G是BD的中点． 由(1)可知平面PBD⊥平面ABD， 又∵平面PBD∩平面ABD＝BD， ∴PG⊥平面ABD. 设OB＝1，则OP＝1，OA＝2，AB＝BP＝， ∵AB⊥平面BPD，∴AB⊥BP， ∴AP＝＝， 由余弦定理得cos∠AOP＝＝－， 则sin∠AOP＝. 设点D到△AOP的距离为h， ∵VP－AOD＝VD－AOP， ∴·PG·S△AOD＝·h·S△AOP， ∵PG＝，S△AOD＝×2×2·sin ＝， S△AOP＝×1×2×＝， ∴h＝， ∵PD＝，∴直线PD与平面PAO所成角θ的正弦值sin θ＝＝. 法二　分别取BD，AD的中点E，F，连接EP，EF， 则EF∥AB. 由(1)可知AB⊥平面BPD， ∴EF⊥平面BPD，∴EF⊥BD，EF⊥EP. ∵PB＝PD，∴PE⊥BD， 以点E为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系． 设OB＝1，可得P，D， A，O. ∴＝，＝， ＝(－，1，0)． 设平面PAO的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则n＝(1，，－1)， ∴直线PD与平面PAO所