根据不等式成立的情形求参数-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 根据不等式成立的情形求参数 在选择题、填空题中，根据不等式成立的情形(如恒成立，能成立有解无解等)或解的性质特征(如有一个解，两个解，解的最大值等)求参数的取值范围是经常出现的题型，常用方法主要有 (1)分离参数； (2)分类讨论； (3)数形结合； (4)变更主元． 题型一　不等式恒成立求参数 【例1】 (1)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1，若对任意x∈R，f(f(x))≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． (2)(2020·浙江考前冲刺卷)已知函数f(x)＝xex－1－ln x－ax，若f(x)≥0恒成立，则实数a的最大值是________． 答案　(1)　(2)1 解析　(1)当a＝0时，f(x)＝2x＋1，f(f(x))＝4x＋3不满足大于或等于0恒成立，不符合题意； 当a>0时，f(x)＝a＋1－≥1－，对称轴x＝－， 由1－>－，可得f(f(x))≥f＝ a＋2＋1＝a－＋1， 若对任意x∈R，f(f(x))≥0恒成立，等价于a－＋1≥0恒成立，解得a≤(舍)或a≥； 当a<0时，f(x)＝a＋1－≤1－，令t＝f(x)≤1－，则f(f(x))＝f(t)一定有负值，不满足大于或等于0恒成立，不符合题意． 综上可知，实数a的取值范围为. (2)由f(x)≥0恒成立得xex－1－ln x－ax≥0即a≤ex－1－恒成立．令g(x)＝ex－1－，则g′(x)＝ex－1－＝，令h(x)＝x2ex－1＋ln x－1，则h′(x)＝x2ex－1＋2xex－1＋>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，则a≤1， ∴a的最大值为1. 感悟升华　(1)分离参数法 结论：①不等式f(x)≥g(a)恒成立⇔[f(x)]min≥g(a)(求解f(x)的最小值)； ②不等式f(x)≤g(a)恒成立⇔[f(x)]max≤g(a)(求解f(x)的最大值)． (2)不易分离参数时，常分类讨论或数形结合解决； (3)若不等式在参数所给范围上恒成立，可变更主元； (4)注意利用基本不等式，绝对值三角不等式． 【训练1】 (1)对任何实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，－3) C．(－∞，3] D．(－∞，－3] (2)若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围为________． 答案　(1)B　(2) 解析　(1)∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，由题意得k<－3. (2)原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)<0. 令f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)(－2≤m≤2)． 则 解得<x<， 故x的取值范围为. 题型二　不等式能成立(有解)求参数 【例2】 (2020·北京朝阳区二模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋π)＝2f(x)，当x∈[0，π)时，f(x)＝sin x．若存在x0∈(－∞，m]，使得f(x0)≥4，则m的取值范围为________． 答案　 解析　∵f(x＋π)＝2f(x)，∴f(x)＝2f(x－π)， ∵当x∈[0，π)时，f(x)＝sin x. ∴当x∈[π，2π)时，f(x)＝2sin(x－π)． 当x∈[2π，3π)时，f(x)＝4sin(x－2π)． 当x∈[3π，4π)时，f(x)＝8sin(x－3π)． 作出函数的图象 令8sin(x－3π)＝4，解得x＝，或x＝， 若存在x0∈(－∞，m]，使得f(x0)≥4，则m≥. 感悟升华　(1)分离参数法常用的结论①不等式f(x)≥g(a)存在解⇔[f(x)]max≥g(a)(求解f(x)的最大值)； ②不等式f(x)≤g(a)存在解⇔[f(x)]min≤g(a)(求解f(x)的最小值)． (2)图象法也是常用方法． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【训练2】 (1)若关于x的不等式|2 018－x|＋|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围是________． (2)已知函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞) 答案　(1)[1，＋∞)　(2)A 解析　(1)