导函数的“隐零点”、ex≥x＋1、ln x≤x－1及,“极值点偏移”问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,导函数的“隐零点”、ex≥x＋1、ln x≤x－1及,“极值点偏移”问题 1．利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”．对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧，对学生综合能力的要求较高，成为考查的难点． 2．极值点“偏移”图示 (1)(左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0) (2)(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0) (3)(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0) 3．极值点偏移问题的结论不一定总是x1＋x2＞(＜)2x0，也可能是x1x2＞(＜)x. 题型一　函数最值中的“隐零点” 【例1】 (2021·杭州市高级中学仿真考试)已知函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝2时，设函数g(x)＝f(x)＋ln x－x－b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈恒成立，求b的最小值． 解　(1)由题意，函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)， 可得f′(x)＝(x－a＋1)ex， 当x∈(－∞，a－1)时，f′(x)<0； 当x∈(a－1，＋∞)时，f′(x)>0， 故函数f(x)在(－∞，a－1)上单调递减， 在(a－1，＋∞)上单调递增． (2)由函数g(x)＝f(x)＋ln x－x－b＝(x－2)ex＋ln x－x－b(b∈Z)， 因为g(x)≤0对任意的x∈恒成立． 即b≥(x－2)ex＋ln x－x对任意的x∈恒成立， 令函数h(x)＝(x－2)ex＋ln x－x， 则h′(x)＝(x－1)ex＋－1＝(x－1)， 因为x∈，所以x－1<0. 再令函数t(x)＝ex－， 可得t′(x)＝ex＋>0， 所以函数t(x)单调递增． 因为t＝e－2<0，t(1)＝e－1>0， 所以一定存在唯一的x0∈， 使得t(x0)＝0，即ex0＝，即x0＝－ln x0， 所以h(x)在上单调递增，在(x0，1)上单调递减， 所以h(x)max＝h(x0)＝(x0－2)ex0＋ln x0－x0＝ 1－2∈(－4，－3)． 因为b∈Z，所以b的最小值为－3. 感悟升华　解决函数最值中的隐零点问题关键在于灵活应用“隐零点”的等式进行代换使问题得以解决． 【训练1】 设函数f(x)＝e2x－aln x(a为大于零的常数)，已知f′(x)＝0有唯一零点，求f(x)的最小值． 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x＞0)． 当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－， 因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在 (0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)． 由于2e2x0－＝0， 所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln. 故当a＞0时，f(x)≥2a＋aln. 故f(x)的最小值为2a＋aln. 题型二　不等式证明中的“隐零点” 【例2】 (2021·杭州统检)已知函数f(x)＝ex－a－ln (x＋a)(x≥0)，其中a>0. (1)若a＝1，求证：f(x)>0； (2)若不等式f(x)≥－1－ln 2对x≥0恒成立，试求a的取值范围． (1)证明　由a＝1，得f(x)＝ex－1－ln(x＋1)，x≥0，所以有f′(x)＝ex－1－， 所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝－1<0，f′(1)＝>0， 所以存在x0∈(0，1)，使f′(x0)＝0， 所以当x∈(0，x0)时，f′(x)<0， 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)min＝f(x0)＝ex0－1－ln(x0＋1)，(*) 且ex0－1－＝0，即ex0－1＝， 两边取对数，得ln(x0＋1)＝1－x0， 代入(*)，有f(x)min＝f(x0)＝＋x0－1＝>0恒成立，所以f(x)>0. (2)解　由题意得ex－a－ln(x＋a)≥－1－ln 2对x≥0恒成立， ①必要性　将x＝1代入上述不等式，得e1－a－ln(1＋a)≥－1－ln 2， 即ln(1＋a)