2.1椭圆 复习讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修1-1

步步升教育焦点专题 高一决定高考 九大校区总电话： 88369993 椭圆 知识要点： 一、椭圆与双曲线 名称 椭圆 图像 第一定义 平面内到两定点的距离的__为常数（____）的动点的轨迹叫椭圆即 注：当2>2时，轨迹是______ 当2=2时，轨迹是______ 当2<2时，轨迹______ 第二定义 平面上点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨迹，若0<e<1时是椭圆。 标准方程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据________来判断焦点在哪一坐标轴上 常数a,b,c的关系 平方关系__________________ 其中_____最大 准线方程 焦点在x轴上：_______________焦点在y轴上：________________ 离心率 e= ( ) e越大,椭圆越___ e越小,椭圆越___ 典型例题 例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 例7 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足， 求线段中点的轨迹方程． 例8 已知椭圆及直线． （1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程． 例10已知方程表示椭圆，求的取值范围． 例11已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围． 例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程． 例13 已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹． 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长． 例15　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值（ ） A．4　　　B．2　 　C．8　 　D． 例16 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称． 例17 在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程． 例18 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程． 例题答案： 例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有， 故其方程为． （2）设，，则． ① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析