第26讲 曲线系问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第26讲 曲线系问题 1、 问题综述 利用“曲线系”解题，主要是为了简化解析几何中繁杂的计算，例如与单位圆相切的直线系可以设为 二、典例分析 类型1：直线合成二次曲线型 【例1】（2017年新课标卷）已知椭圆，四点，，， 中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点. 【解析】（1）略 （2）由题可设斜率分别为，其中。 令曲线：，可表示为。 联立可以得到如下方程组 （其方程组的解为三点） 化简得 进而 ， 解得 或 （即 点 或） 即 ： 恒过 类型2：过直线与曲线交点型 【例2】圆，；于。以为直径的圆过原点，求方程。 【解析】设以为直径的圆的方程为 （圆心） 由，上，那么代入可得 解得 或 进而 或 类型3：混搭型 【例3】在直角坐标系中,曲线与轴交于两点,点的坐标为. 当变化时,证明：过三点的圆在轴上截得的弦长为定值. 【解析】过与交点的曲线系可以设为 ： 因为表示圆，且过则 解得， ： 令可以求得弦长为 【方法小结】 此类问题关键点在于曲线系的设法。 三、巩固练习 1．设直线与椭圆交于两点，过两点的圆与交于另两点，则直线的斜率为（ ） 2． 圆过，且与相切与点。 （1）求圆的方程。 （2）圆上两点关于对称，且以为直径的圆过，求直线的方程 3．（2016年全国联赛题） 如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点.以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切.求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值. 4．椭圆，圆，过作圆的两条切线分别与椭圆交于，证明与圆相切。 四、巩固练习参考答案 1．解析：设，所以 ， 则过四点的曲线系为 。 表示为圆，则系数相等，且无项。化简得 解得 2．解析： （1）设与相切与点的圆系方程为 又过，那么带入求得，所以所求圆的方程为 （2） 易得过圆心，那么，进而设，考虑用曲线系 设过的曲线系方程为， 过，且圆心在上，那么可得 进而求得或，所以所求方程为 或者 3．解析： 设抛物线为，那么，设由极点极线 ，进而 那么至此，点满足，设与相切于点的圆系方程为 由与轴相切，那么令可得，那么 进而可得 ， 由曲线系方程得圆的半径为，那么面积之和为 进而求得最小时，，进而求得， 4.解析 设，由相切得 进而求得 ， 联立与 可以得到 由此 学科网（北京）股份有限公司 $