第18讲 范围与最值问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第18讲 范围与最值问题 一、问题综述 圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题，实质是探求运动变化中的特殊值或临界值，可以与函数、不等式等知识相结合。通常有两类：一类是有关角度、长度或面积的最值或取值范围问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题。 二、典例分析 类型1：化折为直--圆锥曲线的定义转化法 【例1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解析】如图作出抛物线，点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义知 ， 则点到直线的距离与到点的距离之差 当、、三点共线时，由三角形三边之间的关系可知， 当点为射线与抛物线的交点时， 故选D 方法总结：化折为直--圆锥曲线的定义转化法 第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等； 第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值． 类型2：距离的最值与范围问题 【例2】求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标． 【解析】 解法1切线法 设与直线平行，且与椭圆相切的直线为 将代入，得 所以 ，解得 当时，代入中得切点坐标为，此时 当时，代入中得切点坐标为，此时 解法2 参数法 设椭圆上的点， ，则点到直线的距离 （其中 ） 当时，得，即点，此时 当时，得，即点，此时 【方法总结】 1．切线法 第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线， 第二步 切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，求出的值，即可求出切线方程； 第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点． 2．参数法 第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标； 第二步 将目标函数表示成关于参数的函数； 第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法． 【例3】如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为 （I）求直线斜率的取值范围； （II）求的最大值． 【解析】（Ⅰ）设直线的斜率为 ,则 因为，所以直线斜率的取值范围是 。 （Ⅱ）联立直线与的方程得， 解得点的横坐标是 因为 |PA|= |PQ|= ， 所以 令 因为 所以 在区间 上单调递增，上单调递减， 因此当时，取得最大值 【方法总结】 函数法 第一步：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数； 第二步：通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法． 【例4】定长为的线段的两个端点在上移动，中点为，求点到轴的最短距离。 【解析】解法1 函数思想+基本不等式法 设，，中点，则 由得 即 （4） 由（2）（3）得 代入（4）得，所以， ，所以 当 即 时，此时 解法2抛物线定义+化折为直 如图， 所以 ， 即， 所以， 当经过焦点时取得最小值。 所以 点到轴的最短距离为 【方法总结】 （1）可直接利用抛物线设点，如设，，又设中点为用弦长公式及中点公式得出关于的函数表达式，再利用基本不等式或函数思想求出最短距离。 （2）到轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑到准线的距离，想到用定义法。 类型3：面积的最值问题 【例5】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 ，两点． (1)若，求直线AB的斜率； (2)设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值． 【解析】(1)依题意知，设直线的方程为． 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得．设，， 所以， ① 因为，所以 ② 联立①和②，消去，得． 所以直线的斜率是． (2) 原点关于点的对称点为，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于．因为， 所以当 时，四边形OACB的面积最小，最小值是4． ( x y O M A B C F )【例6】已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为． （Ｉ）求抛物线的方程； （Ⅱ）记、的面积分别为，，求的最小值． 【解析】（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得＝4 抛物线的方程为． 　　　　　　 （Ⅱ）设直线， 由 同理可得，从而， 点到的距离 又=