第17讲 定值问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第17讲 定值问题 一．方法综述 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 类型一 与面积有关的定值问题 【例1】已知椭圆过点两点. （I）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 解：（1）由题意得，．所以椭圆的方程为． 又，所以离心率． （2）设，则，又，∴直线的方程为. 令，得，∴. 直线的方程为.令，得，从而． 所以四边形的面积 ．从而四边形的面积为定值． 【方法小结】 解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【例2】已知椭圆，点都在椭圆上，为坐标原点，为中点，且. （1）若点的坐标为，求直线的方程； （2）求证：面积为定值. 解：（1）设，，∵，∴，将代入椭圆方程中 可得化简可得. ∴，∴直线的方程为； （2）证明：设，∴， ①当直线的斜率不存在时，，由题意可得，或，，此时； ②当直线的斜率存在时，，由（1）， ∴，即直线， 即，由得 ∴ ∵，∴， 到的距离，∴， ∴为定值. 【方法归纳】 1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），再进行化简，看能否得到一个常数. 2.定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向. （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算. 【变式训练1】 已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为，点是轨迹上不同于的两点，且满足，求证：的面积为定值． 解：（1）设点的坐标为，由题意得， 化简得，点的轨迹方程为． （2）证明：由题意知，是椭圆上不同于的两点，且，则直线的斜率必存在且不为. 因为，所以. 设直线的方程为，的坐标分别为， 把代入椭圆方程，得 ∴. 又，∴，即. 又，∴，即的面积为定值. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的非坐标轴上的点，且 (分别为直线的斜率)． （1）证明：均为定值； （2）判断的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，均不为0， 则由，得，化简得， 因为点在椭圆上，所以，① ，，② 把代入②，整理得. 结合①得，同理可得，从而，为定值， ，为定值． (2) . 由(1)知，，易知或， ，因此的面积为定值. 类型二：与斜率有关的定值问题 与斜率有关的定值问题包括直线的斜率为定值，或两直线的斜率之积为定值，或两直线的斜率之比为定值，或两直线的斜率之和为定值等. 【例1】如图, 椭圆的离心率是,点在椭圆上, 设点分别是椭圆的右顶点和上顶点, 过 点引椭圆的两条弦. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与的斜率是互为相反数. ①直线的斜率是否为定值？若是求出该定值, 若不是,说明理由； ②设、的面积分别为和,求的取值范围. 解：（1），解得，∴椭圆的方程为. （2）①设点，直线，直线 联立方程组，消去得 ∴，∴，点 联立方程组,消去得：，， ，∴点,故. ②设直线,联立方程组,消去得：, ,∴，，， ∴. 设分别为点到直线的距离, 则,[ ∴, 当时,； 当时，； 当时，； 综上可知：的取值范围是. 【例2】已知椭圆的长轴长为，焦距为. （I）求椭圆的方程； (Ⅱ)过动点的直线交轴与点， 交于点(在第一象限)，且是线段 的中点.过点作轴的垂线交于另一点， 延长线交于点. (i)设直线的斜率分别为，证明为定值. (ii)求直线的斜率的最小值. 解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，∴ ∴椭圆的方程为. （2）（i）设，由，可得 ∴直线的斜率，直线的斜率 此时，∴为定值. （i