第16讲 定点问题-2023届新高考大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第16讲 定点问题 一．问题综述 定点问题是常见的出题形式，解决这类问题的关键是引入变量表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。 1、解决直线过定点问题的基本步骤：（1）设出直线，（2）借助韦达定理和已知条件找出与的一次函数关系式，（3）代入直线方程，得出定点。 2、处理定点问题的技巧：（1）引进参数法，设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或者曲线系方程，而该方程与参数无关，得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即所求的定点。（2）特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关。 3、其中共线问题是解析几何中常见问题之一，解决此类问题常利用向量共线定理，可以从两方面入手（1）共线向量坐标交叉相乘相等（2）直线上任意两点的向量存在倍数关系 下面总结圆锥曲线中几种常见的定点模型． 二．典例分析 类型1：“手电筒”模型 手电筒模型：限定AP与BP条件(如定值，定值，则直线AB过定点(因三条直线形似手电筒，故名曰“手电筒模型”） 【例1-1】已知椭圆：函若直线：与椭圆相交于求两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 【解析】设，由得 以为直径的圆过椭圆的右顶点 解得且满足， 当时，：，直线过定点与已知矛盾． 当时，：，直线过定点． 综上可知：直线过定点 【方法小结】本题为”弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点(参考百度文库文章”圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”) 【例1-2】（2017全国Ⅰ理20）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点. 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此，解得. 故C的方程为. （2）设直线与直线的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）. 则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知. 设，则，. 而. 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 【方法小结】本题为手电筒模型中定值一个例子，由定值 得到k与m的一次关系，再代入直线方程，得到定点。 类型2：切点弦恒过定点 【例2-1】过椭圆的右准线上任意一点引椭圆的两条切线，切点为 （1） 求证：直线恒过定点 （2） 略 【解析】有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆上一点处的切线方程为 【解】（1）设则的方程为， 点在上 ① 同理可得 ② 由①②知的方程为，即 ③ 易知右焦点满足③ 故直线恒过定点 （2）略 【例2-2】（2019全国Ⅲ文21）已知曲线：，D为直线上的动点，过D作C的两条切线， 切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 【解】，则. 由于，所以切线DA的斜率为，故 .整理得 设，同理可得. 故直线AB的方程为. 所以直线AB过定点. （2）略 【方法小结】切点弦方程是指从圆锥曲线外一点可引两条切线，切点为，连接两个切点所得方程具有相同的推导方法。切点弦性质可以作为结论，在考试中可以借鉴本题的书写步骤。切点弦方程的推导简单，方程形式简洁，可以大大简化解题过程。 类型3：相交弦恒过定点 【例3】如图，已知直线：，过椭圆：的右焦点，且交椭圆于 两点，点A，B在直线：上的射影依次为点连接AE，BD，试探索当变化时，直线AE，BD是否交于一定点N？若交于N，求出N点的坐标，并证明，否则说明理由 【解析】相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程需要思路清晰，同时注意总结这类问题的通法. 【解法一】，先探索，当时，直线轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD交于定点， 证明：设，当变化时首先AE过定点N 即 又 而 A、N、E三点共线，同理B、N、D三点共线 与相交于定点 【解法二】本题也可以直接得出AE和BD的方程，令，得与轴交点M、N，然后两个坐标相减=0，计算量也不大。 【方法小结】方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题的一类通法，但是需要注意解答的严谨。 类型4：动圆恒过定点 动圆恒过定点