第14讲 垂径定理-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第14讲 圆锥曲线垂径定理 一．问题综述 1．圆中的垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（在这里我仅研究垂直平分弦） 如图0-1，在圆中，已知点是弦的中点，则． 2．椭圆与圆的联系 （教材《选修2-1》第41页例2） 如图0-2，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？（所求得的轨迹方程是．） （教材《选修2-1》第50页B组第1题） 如图0-3，轴，点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，求点的轨迹方程，并说明它时什么曲线．（所求得的轨迹方程是．） 由上述两道习题推广到一般情形： 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，点在上，若，且，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程是 ． （，且．当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示焦点在轴上的椭圆．） 特别地，当时，椭圆即为圆． 由此，我们可以将椭圆看成是由圆升缩而成的，圆中某些性质也可以类比拓展到椭圆，本专题就圆的垂径定理在椭圆．双曲线中的拓展．应用加以总结． 二．典例分析 类型1：椭圆中的垂径定理 【例1-1】已知椭圆，不垂直坐标轴直线交椭圆于，两点，为线段的中点，直线和的斜率分别为，，求证：． 证法1：如图1-1，设，，．则，． 因为，两式作差得，即， 于是．所以． 证法2：设直线的方程为，设，，． 由，消得， 所以，于是． 所以，于是． 因此． 证法3：令，则．原题设中的点，，分别对应单位圆中的点，，且是线段的中点．由圆的垂径定理由． 又因为，， 所以． 【方法小结】三种解法分别从三个不同角度给出解析，解法2是解决直线与椭圆问题的通法，解法3利用的是仿射变换转化为直线与圆的问题求解.该问题是与弦中点有关的问题，故解法1利用点差法大大简化了运算． ★椭圆中垂径定理的拓展 拓展一：割线转切线 【例1-2】已知椭圆，设直线与椭圆相切于点，求证：． 证明：如图1-2，设，则切线的方程为， 所以切线的斜率为，于是． 【方法小结】该问题也可以看成是例1-1中割线的极限位置为切线． 拓展二：平移中线（中线转变中位线） 【例1-3】已知椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上异于的任意一点，求证：． 证法1：设点， 则， 又，两式作差，得，于是． 证法2：如图1-3，取的中点，连接，则． 所以． 【方法小结】找到该问题中各线段的几何关系易知，该问题又可以回到例1-1中的垂径定理． 【例1-4】（教材《选修2-1》第41页例3）如图1-4，设点，的坐标分别为，．直线，的斜率之积是，求点的轨迹方程． 解析：设点，则（），（）， 由条件有 （） 化简，得点的轨迹方程是（）． 【方法小结】该问题实际是与例1-3题型对应的逆命题，如取的中点，则． 类型2：双曲线中的垂径定理 【例2-1】已知双曲线，不垂直坐标轴直线交双曲线于，两点，为线段的中点，直线和的斜率分别为，，求证：． 证明：略（同例1-1方法1和方法2），如图2-1． 【方法小结】事实上，垂径定理之斜率之积为常数的这一性质，对于有心圆锥曲线均成立．我们知道，双曲线方程与圆方程．椭圆方程一样时关于的二元齐次方程，我们可以对垂径定理作一个归纳，如下： ★圆．椭圆．双曲线中垂径定理的统一 【定理】设点是有心圆锥曲线，或 中与坐标轴不垂直且不过中心的弦的中点，则． 证明：设，，．则，． 因为，两式作差得，所以， 即．所以． 特别地，当时，该定理即为圆的垂径定理． 【例2-2】如图2-2，已知双曲线，设直线与双曲线相切于点，求证：． 证明：略（同椭圆中的例1-2） 【例2-3】如图2-3，已知双曲线，点是双曲线上关于原点对称的两点，点是椭圆上异于的任意一点，求证：． 证明：略（同椭圆中的例1-3） 【例2-4】（教材《选修2-1》第55页探究）如图2-4，点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状． 解析：略（同例1-4）． 【方法小结】综合例1-4和例2-2，可以对此类斜率之积为定值的轨迹作一个归纳，如下： ★动点与两定点所连直线斜率之积为常数的轨迹 【例2-5】（教材《选修2-1》第80页复习参考题A组第10题）已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹方程． 解析：设点，则，，由已知得 整理成 当，且时，点的轨迹值椭圆（除去两点），且当时，椭圆焦点在轴上，当时，焦点在轴上； 当时，点的轨迹是双曲线（除去两点），且焦点在轴上． 当时，点的轨迹是圆（除去两点）．（其中即为圆的直径所对的圆周角，为直角） 【方法小结】该问题中启示我们，动点与两个定点连线的斜率之积为非零常数时，动点的轨迹可