第13讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第13讲 椭圆中的垂直问题 一、问题综述 1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类： （1）是椭圆上的两个动点，且满足，即椭圆的正交中心角问题，此时有,中心到直线的距离为定值, 且； （2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于和，则； （3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题. 2.椭圆中的垂直问题的主要策略： （1）利用斜率之积等于,但要注意斜率是否存在； （2）利用向量数量积等于0. 3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题： （1）形如“以为直径的圆过原点” ，则； （2）形如“椭圆上存在两点关于直线对称”，则直线与直线垂直； （3）形如“直线与椭圆交于两点，为锐角”，则. 4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算. 二、典例分析 类型1：椭圆中的正交中心角问题 例1. 在中心为的椭圆上任取两点，使， 求证：（1）; （2）中心到直线的距离是否为定值？ 证明：设直线的斜率为 ①当存在时，且.设， 则的方程分别为：，， 由方程组得， 同理＝， 所以. ②当不存在时，，满足. ③当时，，满足. 所以成立. （2）因为, 显然是一个定值. 例2. (2019年山东理T22)设椭圆过两点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由. 解析:（1）因为椭圆过两点, 所以解得所以椭圆的方程为. （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且,设该圆的切线方程为,解方程组 得,即, 则,即 要使,需使,即,所以, 所以又, 所以,所以,即或, 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为, 此时圆的切线都满足或 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足. 综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”. 2 当时,. 3 当的斜率不存在时, 两个交点为或, 所以此时, 综上, 的取值范围为即: . 类型2：椭圆中的正交焦点弦问题 例3.过椭圆的一个焦点作两条互相垂直的弦分别交椭圆于 和，求证：. 证明：设，方程为，则方程为 由方程组得， 所以 所以 所以，同理， 所以. 例4. (2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为. （1）设点的坐标为，证明：； （2）求四边形的面积的最小值. 解析：（1）椭圆的半焦距， 由知点在以线段为直径的圆上，故， 所以，． （2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得． 设，，则， ； 因为与相交于点，且的斜率为， 所以，． 四边形的面积 ． 当时，上式取等号． （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 综上，四边形的面积的最小值为. 类型3：椭圆中的垂直弦问题 例5.(2014年浙江理T21)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限. （1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标； （2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为. 解析：（1）设直线的方程为，由， 消去得，， 由于直线与椭圆只有一个公共点，故， 即， 解得点的坐标为， 由点在第一象限，故点的坐标为. （2）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为， 所以点到直线的距离， 整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以点到直线的距离的最大值为. 例6.(2013年浙江理T21)如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径，，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点. （1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程. 解析：（1）由题意得，，，所以椭圆C的方程为. （2）设，，,由题意知直线的斜率存在， 不妨设其为，则直线的方程为. 又圆：，故点到直线的距离， 所以，又，故直线的方程为， 由，消去，整理得， 故，所以， 设面积为，则， 所以， 当且仅当时取等号。 所以所求直线的方程为. 类型4：椭圆中的对称问题 例7.(2015年浙江理T19)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称. （1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值（为坐标原点）. 解析：（1）由题意知，可设直线的方程为， 由，消去，得， ∵直线与椭圆由两个不同的交点， ∴，①， 将中点代入直线方程，解得，②， 由①②得或. （2）令，则， 且到直线的距离为，设的面积为， ∴，当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为. 类型5：可转化为垂直的问题 例8.(2007年山东理)