第11讲 圆锥曲线的光学性质及其应用-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第11讲 圆锥曲线的光学性质及其应用 整理：浙江宁波胡余泽 一、问题综述 解析几何是用解析方法(代数方法)来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识．相反地，解析几何是将数与形有机地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识．在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧．利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题． 二、知识储备 1.1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理. 证明：由导数可得切线的斜率，而的斜率，的斜率 ∴到所成的角满足， 在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足， ∴，而，∴ 1.2双曲线的光学性质： 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2) 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 1.3 抛物线的光学性质： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴(如图1.3) 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． ( 图1.3 F 2 F 1 图1.2 A F 1 F 2 D O 图1.1 B ) 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证. 三、性质转化及证明 2.1圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线. 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 预备定理 1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：. 证明：由……①， 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，∴对①式求导：， ∴，∴切线方程为……②， ∵点在椭圆上，故 ，代入②得……③， 而当时，切线方程为，也满足③式，故是椭圆过点的切线方程. 预备定理2. 若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为： 证明：由……①， 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且， ∴对①式求导：，∴，∴切线方程为……②， ∵点在双曲线上，故 代入②得……③， 而当时， 切线方程为，也满足③式，故是双曲线过点的切线方程. 预备定理 3.若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是 证明：由，对求导得：， 当时，切线方程为，即， 而………①，而当时，切线方程为也满足①式， 故抛物线在该点的切线方程是. 定理1.椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在点处的法线平分（图2.1） 已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设， 求证：. 证法一：在上，， 则过点的切线方程为：，是通过点 且与切线垂直的法线， ( 图2.1 )则， ∴法线与轴交于， ∴，∴，又由焦半径公式得：，∴，∴是的平分线， ∴，∵，故可得 证法二：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角满足： ∵在椭圆上，∴， 同理，到所成的角满足，∴ 而，∴ 证法三：如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点 下面只需证明点与重合即可. 一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）. 另一方面，在直线上任取另一点，∵ 即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合，即而得证． 定理2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）； 已知：如图，双曲线的方程为，，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，求证：． ( 图2.2 )证明：，两焦点为， ，在双曲线上，则过点的切线，切线与轴交于. 由双曲线的焦半径公式得： ，