第10讲 抛物线焦点弦的性质及应用-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第10讲 抛物线焦点弦的性质及应用 一、问题综述 解析几何的选填题目都很小巧灵活，既考查运算功底（通法），也考查思维的灵活性（小题小做）。为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要。解析几何问题本质上还是“几何”问题，特别是与焦点弦相关的性质，尤其如此。本文对涉及到的结论，从几何的角度做出了证明，以“形”助“数”，与代数角度（这个大家自己可以证明）做个对比，以期大家更好的记忆和运用相关结论。均出自本人原创，还希望大家不要外传（湖北孝感王凯）。 二、抛物线焦点弦的性质及其纯几何证明 如图，是抛物线的焦点弦，为弦的中点，分别过、作准线的垂线，垂足为、，为的中点． 设、，倾斜角为，则有如下结论： 1．4种相切，即： （1）以为直径的圆与切于中点； （2）以为直径的圆与切于焦点； （3）以焦半径为直径的圆与（轴）切于中点； （4）以焦半径为直径的圆与（轴）切于中点； 证明如下： （1）以为直径的圆与切于其中点； 证明：由抛物线的定义知，，所以，、、在一个以为圆心，为直径的圆上，又（为梯形中位线）．即证． （2）以为直径的圆与切于焦点； 证明：先证，得三点共圆；再证． 一方面，由抛物线的定义，得，，所以，，易得平分，平分，从而，为平角的一半，故，所以三点在一个以为圆心，为直径的圆上． 另一方面，，所以．即证． （3）易证且交点恰为的中点，仿照（1），可证． （4）与（3）类似。 2．焦半径、焦点弦公式及焦比 （1）焦半径：，； （2）焦点弦：； （3）焦比：． 证明：由抛物线定义可得，，同理，， 作，垂足为，则 同理， 3．两个特殊数列 (1)等差数列：,即的倒数成等差数列． (2)等比数列：,即三点到轴的距离成等比数列． 等差数列的证明，由焦半径公式取倒数相加即可。等比数列的证明看4． 4．两个定值 (1),即焦点弦端点的横坐标之积为定值． (2),即焦点弦端点的纵坐标之积也为定值． 证明：在中，由射影定理可得， 从而， 说明：抓住“定值”这一不变性，可结合“通径”来记忆． 事实上，这一不变性，对非焦点弦也是满足的． 结论如下：过定点的直线与抛物线交于两点、， 则（距离成等比数列），．有兴趣的朋友可以自证． 当这五个值时，可以得到有意思的五个点，过这五点的弦均有某些独特的性质． 可以看到，当时，就是焦点弦的结论．当时，就是下面的结论： 5．一个梯形和两个共线 （1）三点共线； （2）三点共线． 证明：，又， 所以∽，所以三点共线． 同理可证，三点共线． 6．几个特殊的三角形 （1）的两边总关于轴对称； (因为) 此即为时的特性：（与关于轴的对称） 若一条过点的弦交抛物线与两点，则共线． （2）； 证明：． （3）当时，的弦张角． 讲了，顺带也讲下． 点是抛物线上一点到点的距离是否单调变化的分界点． 如果，即当点在点的左侧时，单调递增，此时原点到点的距离最小；如果，即当点在点的右侧时，先减后增，此时原点到点的距离并非是最小的． 三、典例分析 类型1：焦半径和焦点弦 【例1】过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，则（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由焦半径公式求倾斜角，或直接用 的倒数等差数列． 【法1】如图所示，设，则 解得，， ，故选B． 【法2】由可得，． 【例2】若过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则实数的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】 法1、常规思路——通法（此法主要为了做个比较，后续题目不会用通法） 解：易得，设直线方程为，(此题中)，，可得，， 由韦达定理可得，，，又， 法2、由结论可知，，故选B． 【例3】已知F为抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与直线，直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线焦点弦弦长公式表示 再求最小值． 解：由，设直线倾斜角为， 则直线倾斜角为， 由焦点弦弦长公式得 ，， 所以， 当且仅当时取等号的最小值为．故选D． 【例4】已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，设，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，，所以，．选D． 【例5】若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 的倒数等差数列及基本不等式可解． 由题，，又，由权方和不等式可得， ，所以，． 点评：两个焦半径和焦点弦，知其一,或者知两者的某个关系式，另两个必定可求，同时也可以求焦点弦的斜率． 类