第7讲 弦长与面积最值问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第7讲 弦长与面积问题 一、问题综述： 在直线与二次曲线相交的模型中，弦长和面积是最基本的几何量，也是考察几何图形分析和代数运算最常建立起来的运算式。考察方向比较复杂多变。 知识要点：弦长问题： 在直线与椭圆相交，以及直线与双曲线相交，求弦长问题研究过程中，可通过直线与已知二次曲线联立，借助韦达定理得到两根关系，从而进行研究. 设直线，上两点，则 设直线，上两点，则 ①特殊地：在直线与圆问题中：弦长公式经常用： ②特殊地：椭圆中焦点三角形面积：（其中） 证明：由于 且 故 故 因为，所以. ③特殊地：双曲线中焦点三角形面积：（其中） ③特殊地：在直线与抛物线问题中： 设抛物线方程：，过焦点的直线（斜率存在且）， 对应倾斜角为，与抛物线交于 联立方程：， 整理可得： （1）， （2）（几何法亦可证明） （3） 二、典例分析 类型一：圆中的弦长问题 模型1：特殊三角形、特殊位置 【例1-1-1】（2012天津）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于（ ） A． B． C． D．1 解析：圆的圆心到直线的距离， 由内角为30°，60°，90°的三角形边长比为知：弦长． 【解后反思】圆中三类特殊三角形：等腰直角、等边、含30°角的直角三角形可以帮助简化运算，熟练记忆掌握，会让运算效率高很多。 【例1-1-2】（2012湖北）过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ） A． B． C． D． 解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点，则,故所求直线的斜率为1.又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为， 即．故选A． 【解后反思】圆中的动态问题，可考虑找特殊位置、极限位置，先定位置再分析，可以事半功倍. 【例1-1-3】设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值为_________. 解析：直线与两坐标轴的交点坐标为,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离满足,所以,即圆心到直线的距离,所以.三角形的面积为,又,当且仅当时取等号,所以最小值为. 【解后反思】双参数问题的研究过程中，除了定量运算外，也可以考虑极限和特殊位置进行分析求解。 模型2：几何法（） 【例1-2-1】若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程 解答：①当直线斜率不存在时，，联立方程： 弦长为2，符合题意. ②当直线斜率存在时，设 由弦长为2和可得： ，解得： 综上所述：的方程为和 【解后反思】在设直线方程求解时，一定要考虑先特殊后一般防止漏解。 【例1-2-2】已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为________ 解答：圆标准方程：，圆心为，半径为，可知在直线。点到直线的距离，所以过且与平行的直线与圆相交，因为圆的半径，所以截得的弦长为定值。所以，即 【解后反思】解析几何的含参问题，在动态变化过程中，要考虑有不变量。本题圆心横纵坐标有线性相等关系，所以圆的圆心轨迹为直线，而圆半径为定值，固可求解。本题亦可特殊化处理，令，进行求解. 【例1-2-3】在平面直角坐标系中，已知圆，点是轴上的一个动点，分别切圆于两点，则弦长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解答：如图设交于，则有，只需确认的范围即可，由圆方程可得，设，所以，在中，可得：，所以，下面确定的范围。设，因为，所以，从而解得。则 类型二：椭圆和双曲线中的弦长问题 【例2-1】过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于四点，则的值为（ ） A. B. C. D. 解析：①若分别与坐标轴平行，不妨设轴，则 因为 为长轴长，即 ②当斜率均存在时，设斜率为，由可得斜率为 设， 联立 得：，整理后为： 设，，同理只需用替换中的即可 综上所述： 【解题反思】反设直线和特殊化解决小题会更加轻松. 【例2-2】已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于两点，求弦的长． 解：【解析法】 ． 因为，，所以． 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点， 从而直线方程为． 由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而 【定义法】 由题意可知椭圆方程为，设，，则，． 在中，， 即； 所以．同理在中，用余弦定理得，所以 【解题反思】多考虑题目中未知参量所满足的等量关系，进行求解.不要局限于一题一解。 类型三：