第5讲 向量与解析几何-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第5讲 向量与解析几何 1、 问题综述 本讲研究向量问题与解析几何交叉问题，具体如下： 1.利用向量线性的关系，将几何问题代数化； 2.利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题； 3.利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题； 4.利用数量积坐标形式、投影解决几何问题. 二、典例分析 类型一：利用向量线性的关系，几何问题代数化 【例1】过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为(　　) A.　　　 B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意设，由，，即 设直线的方程为联立直线与抛物线方程，消元得 故即 【例2】（2018年浙江高考17题）已知点，椭圆上两点满足，则 当 时，点横坐标的绝对值最大. 【答案】 【解析】若直线的斜率不存在，那么，不是最大值； 设直线， ，. 由知，所以. 因此，当且仅当，即时取等号. 解法2：设则， ，又均在椭圆上，则 . 而，则当时，取得最大值为4. 【例3】（2018学年金丽衢十二校第二次联考17）过点的直线与椭圆交于点和，且 ，点满足.若为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】. 【解析】解法1：常规处理（运算量偏大） 情形一：直线斜率存在时，设直线为， 联立： 由于点在椭圆内部，显然； 由韦达定理有： 联立 . 处理1：（柯西不等式求最值） . 处理2：（几何意义求最值） 情形二：当直线斜率不存在时，直线方程为，此时. 综上所述. 解法2：定比点差（运算量较小） 设点， （*） ， 代入（*）式有. 所以的轨迹方程为直线. 注：背景解读： 过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足，则点在直线上. 证明方法：定比点差法. 类型二：利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题 【必要储备】两个非零向量垂直的充要条件是，如，， 则． 【例4】（2017届广西武鸣县高中高三月考）已知椭圆的左顶点为，是椭圆上 异于点的任意一点，点与点关于点对称． （1）若点的坐标为，求的值； （2）若椭圆上存在点，使得以线段为直径的圆过原点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为 . 由点在椭圆上，所以，解得. （2）设则且 又，以线段为直径的圆过原点，则OP⊥OM，即， 所以= 由①②得：，所以. 【例5】（江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试）设点是圆上任意一点，点是点 在轴上的投影，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设点，若直线与轨迹相切于点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆经过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）设， 由已知得，因为点在圆上，所以＝4，即. 所以点的轨迹方程为. （2）证明：由 得， 如图，设点的坐标为，依题意，且，则 ，整理得. 此时 所以， 由，解得 即. 由，， ，故. 所以为直径的圆过定点. 类型三：利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题 【例6】（河北省唐山市2018届高三上学期期末）已知为抛物线的焦点，过点作两条互 相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为. （1）求的取值范围； （2）设线段的中点分别为点，求证：为钝角. 【解析】（1）由题可知设直线的方程为. 由，则或. 设直线的方程为，由，同理得或. 又或，即或 （2）设，由方程得 即， ， 而，所以与不共线. 故为钝角. 类型四：利用数量积坐标形式、投影解决几何问题 【例7】（2017浙江高考21题）如图，已知抛物线， 点，抛物线上的点 ，过点作直线的垂线，垂足为. （1）求直线斜率的取值范围； （2）求的最大值. 【解析】（2）投影法， 而代入得： . 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，的最大值. 注：也可将目标式转化为：， ，也可，可谓殊途同归！ 【例8】(宁波市2018.02高三期末试卷）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一 点作次抛物线的切线，为切点，且. （1）求证：直线过定点； （2）直线与曲线的一个交点为，求的最小值. 【解析】（1）设直线的方程为设， 以为切点的切线方程分别为 由 这两条切线的斜率分别为 所以直线恒过定点 （2）设 当时，则，可得； 当时，则，可得 所以， 令 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以 注：也可以由三元均值得 三、巩固练习 1.（湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试）已知椭圆，若直线经过，与椭 圆交于两点，且，则直线的方程为 A.