第4讲 圆锥曲线 硬解定理-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第4讲 圆锥曲线硬解定理 一、题型综述 直曲联立求韦达，利用韦达求弦长，面积、、、等是圆锥曲线考察频率比较高，经常出现的知识点，若果能快速记住一些必要的结论，可以有效提升做题的速度及准确度，但圆锥曲线结论的记忆有一点难度，需要想一些办法进行理解，公式口诀话，以便记忆，笔者在这为大家提供一些网络上听到觉得比较好记的口诀。 二、硬解定理 第一部分：硬解定理在椭圆中的运用 设椭圆方程用①表示，与直线②相交于、两点， 联立①②式可得最终的二次方程： 消去得： 消去得： 可得： （1）判别式 在椭圆中，所以判断判别式的正负可以利用来进行判断 若 有两实根，即直线与椭圆有两个交点 若 有两相同实根，即直线与椭圆相切 若 无实根，即直线与椭圆没有交点 记忆：成对去见单身 （2）韦达定理：把直线设为 口算韦达公式： 记忆口诀：分母都为两两配对 分子为乘以消去系数（）剩余直线系数的倍 分子为乘以消去系数（）剩余直线系数的倍 分子为乘以减去消去系数的平方 分子为乘以减去消去系数的平方 例： ，得： 代入y，得： （1） 中点组： （2） 弦长组： 口诀：2倍根号下，小方积，大方和，成对去见单C方，减完C方去下方。 （3） 向量组： 第一组： ……① …………② ………③ 公式简证： 第二组：向量的数量积 ……④ ……⑤ 【说明】其中在直线上，即，。下同 公式证明： ，设） （4） 斜率组：斜率和 已知点，，，直线的方程为。 则直线、的斜率和 ……⑥ （记忆要点1：分母中，即在直线上。 记忆要点2：分子的记忆 曲线 直线 公式证明： 代入韦达定理和公式②、④得 （设） 即 第二部分：圆锥曲线的硬解定理 二次曲线方程用①表示，与直线②相交于、两点， 联立①②式可得最终的二次方程： 消去得： 消去得： 可得： （根据，写，的方法：、互换；、互换；不变。） （1） 判别式 （2） 韦达定理 ； （3） 中点组： （4） 弦长组： （设，下同） （5） 向量组： 第一组： ……① …………② ………③ 公式简证： 第二组：向量的数量积 ……④ ……⑤ 【说明】其中在直线上，即，。下同 公式证明： （6） 斜率组：斜率和 已知点，，，直线的方程为。 则直线、的斜率和 ……⑥ （记忆要点1：分母中，即在直线上。 记忆要点2：分子的记忆 曲线 直线 公式证明： 代入韦达定理和公式②、④得 （设） 即 第三部分 应用硬解定理解题 例1.已知直线与椭圆交于两点(不是左右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求△面积的最大值。 【解】设直线的方程为，则有 在本题中有： 代入有方程 代入有 代入韦达定理有 ，， 因为以为直径的圆过点，所以， 即，即。 代入得 ， 这里在直线上， 化简得，即。 所以（舍去）或 令，则 又当不存在时，。综上，三角形的面积最大值为。 跟踪练习： 练习：点在椭圆上，直线交椭圆于、两点，求三角形面积的最大值。 点到直线的距离为 当且仅当时面积取得最大值。 练习2.若直线交椭圆于、两点，为椭圆上一点，求面积的最大值。 点到直线的距离为 当且仅当时面积取得最大值。 例题3：动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。 当切线斜率存在时，设切线方程为即， ， ， ，此即为动点的轨迹方程，当切线斜率不存在时，动点亦满足此方程。 例题4.已知椭圆的左右焦点分别为、，且椭圆与直线相切，则椭圆的长轴为（ ） 因为直线与椭圆相切，所以：法： ，故选 法：，故选 练习5.椭圆两顶点，，过焦点的直线与椭圆交于两点，当时，的方程为 。 ，斜率不存在时与已知条件矛盾，当斜率存在时， 练习6.直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长是 不能确定 令，因为求最大值，故可只考虑的情况， ，当且仅当时等号成立。 练习7.过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求四边形的面积的最大值。 当与的斜率为或不存在时， 当与的斜率存在且不为时， ，所以最大值为。 9 学科网（北京）股份有限公司 $