第3讲 抛物线的定义及其应用-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第1讲 抛物线的定义及其应用 一、问题综述 本讲梳理抛物线的定义及其应用．抛物线的考题中，对抛物线定义的考查一直都是热点．对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题过程． （一）抛物线的定义 平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点不在上)．定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 以开口向右的抛物线为例，设抛物线的焦点为F，准线为，点为抛物线上的动点．则有: 焦半径；过焦点的弦长为． （二）抛物线定义的应用 与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化： （1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 二、典例分析 类型一：利用定义求抛物线的标准方程 【例1】已知动圆过定点，且与直线相切，其中．求动圆圆心的轨迹的方程． 【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为． 【方法小结】涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为抛物线上的点到准线的距离． 【变式训练】 1．点与点的距离比它到直线的距离小1, 求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】如图，设点的坐标为． 由可知可得：点与点的距离等于它到直线的距离． 根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以，得． 又因为焦点在轴的正半轴上，所以点的轨迹方程为：． 2．平面上动点到定点的距离比到轴的距离大1，求动点的轨迹方程． 【答案】或． 3．若动圆与定圆相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程． 【答案】． 类型二：利用抛物线定义证明焦点弦或焦半径的相关性质 【例2】为抛物线上任一点，为焦点，则以为直径的圆与轴（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．位置由确定 【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是． 作于，交轴于，那么，且． 作轴于，则是梯形的中位线， ． 故以为直径的圆与轴相切，选B． 【方法小结】类似的问题：对于椭圆和双曲线来说，结论分别是相离或相交． 【例2】在抛物线上有两点和，且满足，求证： （1）、和这抛物线的焦点三点共线；（2）为定值． 【证明】（1）∵抛物线的焦点为，准线方程为． ∴、到准线的距离分别，． 由抛物线的定义：，． ∴，即、、三点共线． （2）如图，设． ∵，∴， 又，∴， ∴（定值）． 【变式训练】求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切． 【证明】如图，设抛物线的准线为，过、两点分别作、垂直于，垂足分别为、．取线段中点，作垂直于． 由抛物线的定义有：，，所以． ∵是直角梯形， 即为圆的半径，而准线过半径的外端且与半径垂直，故圆必与准线相切． 类型三：利用抛物线的定义求解最值问题 【例1】设是抛物线上的一个动点． （1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值； （2）若，求的最小值． 【解析】（1）如下图，抛物线的焦点为，准线是， 由抛物线的定义知：点到直线的距离等于点到焦点的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点，使点到点的距离与点P到的距离之和最小． 显然，连结交曲线于点，则所求最小值为，即为． （2）如下图，过点作垂直准线于交抛物线于点，则， 则有， 即的最小值为4． 【方法小结】本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解． 【变式训练】已知是抛物线的焦点，点的坐标为，点是上的任意一点，当在点时，取得最大值，当在点时，取得最小值，则，两点间的距离是 ． 【解析】依题意，一方面：， 当平行于轴时，取得最大值，此时； 另一方面：， 当，，，三点共线，且在，之间时，取得最小值，此时， 故． 类型四：抛物线定义的综合应用 【例1】如图所示，直线和相交于点，，点，以、为端点的曲线段上任一点到的距离与到点的距离相等，若是锐角三角形，，且，建立适当的坐标系，求曲线的方程． 【解析】（利用抛物线定义求标准方程） 以为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示， 依题意知：曲线段是以点为焦点，为准线的抛物线的一段， 过作、垂线，垂足分别为、， 由抛物线定义可知， 则， ，， 所以，即，故抛物线方程为． 由，，结合抛物线定义，得，，所以，． 综上，得曲线段的方程为． 【例2】己知椭圆的左右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点，且，则椭圆的离心率为 ． 【解析】 【解法1】如图所示两种情况：