第2讲 双曲线的定义及其应用-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第2讲 双曲线的定义及其应用 一．问题综述 本讲梳理双曲线的定义及其应用． （一）双曲线的定义： 平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． （二）双曲线定义的应用 主要有下面几方面的应用： 1．判断轨迹形状；2．求标准方程；3．求最值或范围． 二．典例分析 类型一：判断轨迹形状 【例1】已知是定点，动点满足，且则点的轨迹为（ ） A．双曲线 B．直线 C．圆 D．射线 【解析】由题意得<，所以点的轨迹为双曲线。 【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断： 设平面内动点到两个定点、的距离之差的绝对值等于定值，即， （1）若，则点的轨迹是双曲线（包括两支）． （2）若，则点的轨迹是双曲线的一支；若，则点的轨迹是双曲线的另一支． （3）若，则点的轨迹是两条射线． （4）若，则点的轨迹不存在． 【变式训练】 1． 方程表示的曲线是 ，其标准方程是 ． 2． 方程表示的曲线是 ，其方程是 ． 3． 方程表示的曲线 ． 【答案】1．双曲线的左支，； 2． 两条射线，； 3．不存在． 类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程 【例1】中，，，且，求点的轨迹方程． 【解析】由，得， ∴，即， ∴点的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）， ∵，，∴，，， 所求轨迹方程为． 【方法小结】由于，，的关系为一次齐次式，两边乘以（为外接圆半径），可转化为边长的关系．再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法． 【例2】已知双曲线的左右焦点分别是，是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足的轨迹． 【解析】设点的坐标为， 延长与交于点，连接． ∵平分，且⊥， ∴ ，． 又∵点是双曲线右支上的动点， ∴ ， ∴ ，∴ ，即点在以为圆心，为半径的圆上． ∵ 当点沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线， ∴ 点的轨迹是圆弧，除去点和，方程为． 【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项 （1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变． （2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 【变式训练】的顶点、，的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，，， 所以． 根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为． 类型三：焦点三角形中的计算问题 【例1】已知是双曲线上一点，，是双曲线的两个焦点，若，则的 值为________． 【解析】由双曲线方程知，，则． ∵是双曲线上一点，∴，又，∴或． 又，∴． 【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，为右支上的一点，且， 则的面积等于（ ） A．24 B．36 C．48 D．96 【解析】依题意得，由双曲线的定义，得，∴． ∴，故选C． 【方法小结】关键抓住点为双曲线右支上的一点，从而有，再利用，进而得解．双曲线上一点P与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求；通过整体代入可求其面积等． 【变式训练】 1．设椭圆和双曲线的公共焦点分别为、，为这两条曲线的一个交点，则的值等于__________． 【答案】． 【解析】焦点坐标为，由此得，故.根据椭圆与双曲线的定义可得 ，|．两式平方相减，得，. 2．设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若双曲线的离心率为5，则(　　) A．　　　 　 B．　　　 　 C．　　　 　D． 【答案】C． 【解析】依题意可知，设， 由双曲线定义知： ①； 由勾股定理得：　②； 又由离心率： ③， 三式联立解得，故. 3．已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 (　　) A．　　　 　 B．　　　 　 C．　　　 　D． 【答案】C． 【解析】由双曲线的定义有，∴， 则. 4．已知的顶点，分别为双曲线左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于(　　) A．　　　 　 B．　　　 　 C．　　　 　D． 【答案】A． 【解析】在中，由正弦定理