第1讲 椭圆的定义及其应用-2023届新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

第1讲 椭圆的定义及其应用 一、问题综述 本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点． （一）椭圆的定义 平面内到两个定点、的距离之和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． （二）椭圆定义的应用 主要有下面几方面的应用： 1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围． 二、典例分析 类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程 【例1】 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹方程． 【解析】以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为． 【方法小结】由已知可得，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点． 【例2】已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 【解析】如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即． ∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆， 的轨迹方程为：． 【例3】已知圆及点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与相交于点，求点的轨迹方程。 【解析】如图所示． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴，且10>6． ∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且，，即，． ∴点的轨迹方程为． 【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法． 【变式训练】 1．已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．求点的轨迹的方程． 【解析】当时，点和点在轨迹上． 当且时，由，得． 由，得， 又，所以，所以为线段的中点． 连接，则为的中位线，所以， 设点的坐标为，则．故点的轨迹的方程是． 【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。 类型二：焦点三角形中的计算问题 【例1】已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦 点在BC边上，则的周长是（ ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【解析】由椭圆的定义知：，∴周长为（是椭圆的另外一个焦点）． 【方法小结】（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． （2）椭圆上的点必定适合椭圆的定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点有关的距离问题． 【例2】 已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且 ．若的面积为9，则＝________． 【答案】3 【解析】由题意知，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 【方法小结】关键抓住点为椭圆上的一点，从而有，再利用，进而得解．椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求；通过整体代入可求其面积等． 【变式训练】1．椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为（ ） A．4　　　 B．2　　　 C．8　　　 D． 【解析】如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A． 2．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于、、…、七个点，是椭圆的一个焦点，则________. 【答案】35 【解析】设椭圆右焦点为，由椭圆的对称性知，，，， ∴. 类型三：利用椭圆的定义求离心率 【例1】设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 【解析】设，则， 由点在椭圆上，得， 又，所以． 【例2】己知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且经过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率为 ． 【解析】设，，则，， 在中，分别由余弦定理得 ，即， 所以，即， 代入（2）得，所以，故． 【变式训练】 1．如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 ． 【解析】设，则，， 由点在椭圆上，得， 又，所以． 2．设是椭圆上任一点，，为焦点，， ． （1） 求证：离心率；（2）求的最值． 【解析】（1）由正弦定理得， 由等比性质得，所以， 所以． （2）设，，则，所以 将代入上式，得 ， 又，所以： 当时，取得最小值； 当或时，取得最大值． 类型四：利用椭圆的定义求解最值问题 【例1】以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求