第1章 4 一元二次函数与一元二次不等式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 学习目标 1.通过一元二次函数图象的学习,培养直观想象素养. 2.借助一元二次函数性质的应用,培养逻辑推理素养. 1.一元二次函数的表达式 (1)一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可以通过配方化为y=a(x-h)2+k,其中,h=-,k=. (2)一元二次函数解析式有三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0). ③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标). 2.一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象 一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移,而且“h正右移,h负左移”;k决定了一元二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.简记为“左加右减,上加下减”. 3.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象 性 质 对称轴 直线x=h 顶点 (h,k) x的取 值范围 (-∞,+∞)或R y的取值 范围 [k,+∞) (-∞,k] 函数 值的变化 趋势 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而减小; 在区间[h,+∞)上,y随x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而增大; 在区间[h,+∞)上,y随x的增大而减小 最值 x=h时,y有最小值k x=h时,y有最大值k 二次函数最值问题 (1)解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. (2)二次函数在闭区间上的最值: 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),闭区间为[m,n]. ①当-≤m时,最小值为f(m),最大值为f(n); ②当m<-≤时,最小值为f(-),最大值为f(n); ③当<-≤n时,最小值为f(-),最大值为f(m); ④当->n时,最小值为f(n),最大值为f(m). 　求二次函数解析式 [例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. 解:法一(利用一般式) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用顶点式) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1), 所以抛物线的对称轴为直线x==. 所以m=. 又根据题意知,函数有最大值8, 所以n=8, 所以f(x)=a(x-)2+8. 因为f(2)=-1, 所以a(2-)2+8=-1, 解得a=-4, 所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7. 法三(利用两根式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8,即=8. 解得a=-4或a=0(舍去), 所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下: 针对训练:(1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=　　　　. (2)已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为(-,49),且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是　　　　　　　　　　. 解析:(1)由题意,可设f(x)=ax(x+2)(a≠0), 则f(x)=a(x2+2x)=a(x+1)2-a. 又f(x)有最小值-1,则a=1, 所以f(x)=x2+2x. (2)设f(x)=a(x+)2+49(a≠0), 方程a(x+)2+49=0的两个根分别为x1,x2, 则|x1-x2|=2=7, 所以a=-4, 所以f(x)=-4x2-12x+40. 答案:(1)x2+2x　(2)f(x)=-4x2-12x+40 　二次函数的图象变换 [例2] 在同一平面直角坐标系中作出下列函数的图象. (1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x. 并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象. 解:列表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x