第1章 2 常用逻辑用语-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件、充分条件 学习目标 1.结合具体实例,理解必要条件、充分条件的意义.提升逻辑推理素养. 2.通过对典型数学命题的梳理,理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系.培养数学运算素养. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　古代有一次考画师的题目是“深山藏古寺”,考生的画面上有的是崇山峻岭,松柏深处有座寺庙;有的是山峦之间露出寺庙的一角……而有一个考生的画面上只有起伏的山峦,密密的松林,一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山,却没有寺庙.最后,这幅画被评为第一名. 探究:和尚担水上山与深山古寺之间有什么逻辑关系呢? 答案:如果有和尚担水上山,那么山里就有寺庙. 1.命题 定义 可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题 表示 一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“p是q”两种形式 理解 当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论 符号表示 当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p⇒q 2.充分条件与必要条件 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出 关系 p⇒q p q  条件 关系 q是p的必要条件 p是q的充分条件 q不是p的必要条件 p不是q的充分条件 定理 关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件; 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 思考:以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗? 提示:等价. 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法: ①确定谁是条件,谁是结论. ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件. ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法: ①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件. ②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. (3)利用集合间的包含关系判断法:如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分条件;若p⊇q,则p是q的必要条件;若p=q,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　命题真假的判断 [例1] 判断下列命题的真假. (1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d; (2)若x∈N,则x3>x2成立; (3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根; (4)存在一个三角形没有外接圆. 解:(1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2. (2)假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立. (3)真命题.因为m>1⇒Δ=4-4m<0, 所以方程x2-2x+m=0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆. 要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. 针对训练:下列命题: ①若xy=1,则x,y互为倒数; ②四条边相等的四边形是正方形; ③平行四边形是梯形; ④若ac2>bc2,则a>b. 其中真命题的序号是　　　　.  解析:①④是真命题,②四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形,③平行四边形不是梯形. 答案:①④ 　充分条件、必要条件的判断 [例2] 指出下列各题中p是q的什么条件. (1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0. (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等. (3)p:a>b,q:ac>bc. 解:(1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0x-3=0,故p是q的充分不必要条件. (2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件. (3)a>bac>bc,且ac>bca>b, 故p是q的既不充分也不必要条件. 一般地,定义法主要用于较简单命题的判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题,要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q.要判断p是不是q的必要条件,就要看q能不能推出p. 针对训练:指出下列各组命题中,p是q的什么条件. (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形. (2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0. 解:(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等, 所以p是q的既不充分也不必要条件. (2)因为(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)