第5章 1 方程解的存在性及方程的近似解-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 学习目标 1.了解函数的零点的概念,理解函数的零点与方程的根的关系,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握函数零点存在定理,会探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法,达成数学抽象与逻辑推理的核心素养. 　　路边有一条河,某人从A点走到了B点.观察下列两组画面,并推断哪一组能说明此人的行程一定曾渡过河?可以将这个实际问题构建如下数学模型:如图,若将河看成x轴,建立平面直角坐标系,A,B是此人的起点和终点. 探究:点A,B满足什么条件就能说明此人的行程一定曾渡过河? 答案:只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可,即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反,就能说明此人的行程一定曾渡过河. 1.函数的零点 (1)概念. 使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. (2)方程、函数、图象之间的关系. 函数f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,也就是方程f(x)=0的解. 思考1:函数的零点是一个点吗? 提示:函数的零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. 思考2:函数的零点与方程的根有什么联系和区别?函数与方程之间有何联系? 提示:(1)联系.①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. (2)区别.零点对于函数而言,根对于方程而言. 函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础. 问题:观察函数的图象: (1)在区间(a,b)上　　(填“有”或“无”)零点,  f(a)·f(b)　　0(填“<”或“>”);  (2)在区间(b,c)上　　(填“有”或“无”)零点,  f(b)·f(c)　　0(填“<”或“>”);  (3)在区间(c,d)上　　(填“有”或“无”)零点,  f(c)·f(d)　　0(填“<”或“>”).  提示:(1)有　<　(2)有　<　(3)有　< 2.零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. 思考3:若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点一定是唯一的吗? 提示:不一定.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在区间(-2,2)内有三个零点-1,0,1. 思考4:若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)>0,是不是说明函数y=f(x)在区间(a,b)内没有零点? 提示:不是.函数y=f(x)在区间(a,b)内也可能有零点.如f(x)=x2-1,在区间[-2,2]上有f(-2)·f(2)>0,但在区间(-2,2)内有两个零点-1,1. 思考5: 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)·f(b)<0? 提示:不一定,如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)·f(1)=1×1=1>0. 　函数的零点理解 角度1　根据函数的解析式求函数的零点 [例1] (1)求函数f(x)=1-log2(x+3)的零点; (2)求函数f(x)=的零点; (3)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数 g(x)=bx2+ax的零点. 解:(1)令1-log2(x+3)=0,得x=-1, 所以函数f(x)=1-log2(x+3)的零点是-1. (2)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3; 当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2. 所以函数f(x)=的零点为-3和e2. (3)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,则b=3a, 故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1). 令g(x)=0,即ax(3x+1)=0, 解得x=0或x=-, 所以函数g(x)=bx2+ax的零点为0和-. 利用函数的解析式求函数的零点的方法 根据零点的定义,解方程f(x)=0,它的实数根就是函数y=f(x)的零点. 针对训练:判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=-x2-4x-4; (2)f(x)=; (3)f(x)=4x+5; (4)f(x)=log3(x+1). 解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2, 所以函数的零点为-2. (2)