第4章 4—5-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§4　指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较 *§5　信息技术支持的函数研究 学习目标 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,提升数学抽象、数学建模的核心素养. 2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 　　澳大利亚兔子数“爆炸”:1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子的数量在不到100年内达到75亿只,喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢?原来,在理想的环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量的增长为对数增长. 问题:观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+∞)上的图象,思考几个问题: (1)三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点? (2)当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快?哪个最慢? 提示:(1)三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增. (2)三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快,y=log2x增长速度最慢. 三种函数的增长趋势 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (x>0,α>0) 在(0,+∞) 上的增减性 增函数 图象的变 化趋势 随x增大,近似与y轴平行 随x增大,近似与x轴平行 α值较小(α<1)时,增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快 增长速度 ①随x增大,y=ax增长速度越来越快,并且当a越大时,y=ax增长速度越快.随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度. ②随x增大,y=logax增长速度越来越慢,并且当a越大时,y=logax增长速度越慢. ③存在一个x0,当x>x0时,有ax>xα>logax 三种函数增长对比 对数函数随x的增大,增长速度越来越慢,幂函数增长和指数函数增长的快慢交替出现,当x足够大时,一定有指数函数的增长快于幂函数的增长,幂函数的增长快于对数函数的增长. 　三种函数的增长趋势 [例1] 下列函数中,增长速度最快的是(　　) A.y=2 023x B.y=x2 023 C.y=log2 023x D.y=2 023x 解析:指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快.故选A. 三种函数模型的表达形式及其增长特点 (1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”. (2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型. 针对训练:三个变量y1,y2,y3随变量x的变化情况如表: x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 其中关于x呈对数型函数变化的变量是　　　　,呈指数型函数变化的变量是　　　　,呈幂型函数变化的变量是　　　　.  解析:根据三种函数模型的变化特点,观察表中数据可知,y2随着x的增大而迅速增加,呈指数型函数变化,y3随着x的增大而增大,但变化缓慢,呈对数型函数变化,y1相对于y2的变化要慢一些,呈幂型函数变化. 答案:y3　y2　y1 　指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 [例2] 函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较 f(x) 与g(x)的大小(以x1,x2为分界点); (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 023),g(2 023)的大小. 解:(1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应