第4章 3 对数函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§3　对数函数 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y=log2x的图象和性质 3.3　对数函数y=logax的图象和性质 第1课时　对数函数的概念与性质 学习目标 1.理解对数函数的概念,提升数学抽象的核心素养. 2.掌握对数函数的图象和简单性质,通过对数函数的图象和简单性质的学习,达成数学抽象、直观想象的核心素养. 3.了解对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 问题1:庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”若已知剩余长度的大小,你能知道经过了多长时间吗?剩余长度与时间之间是函数关系吗? 提示:设剩余长度为x,经过的天数为y,则()y=x,由对数的定义可得y=lox,这里的y是x的函数. 1.对数函数的概念 对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay. 习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中,a称为底数.特别地,称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x. 称对数函数y=logax(a>0,且a≠1)是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数. 思考1:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域和值域与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系? 提示:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域. 问题2:你能在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2x,y=log3x,y=lox及y=lox的图象吗?这四个函数图象有什么特征? 提示:四个函数图象如图所示. (1)函数y=lox和y=lox的图象从左到右是下降的.函数y=log2x和y=log3x的图象从左到右是上升的. (2)函数y=log2x和y=lox的图象关于x轴对称,同样,函数y=log3x和y=lox的图象也关于x轴对称. (3)这四个函数的定义域均为(0,+∞),值域均为R,都过定点(1,0). 2.对数函数的图象和性质 y=logax(a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数 共点性 图象过定点(1,0),即当x=1时,y=0 函数值 特点 当x∈(0,1)时,y∈(-∞,0); 当x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) 当x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); 当x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0] y=logax(a>0,且a≠1) 对称性 函数y=logax与y=lox的 图象关于x轴对称 思考2:对数函数的单调性与谁有关? 提示:底数a与1的关系决定了对数函数的单调性. 当a>1时,对数函数在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1时,对数函数在(0,+∞)上是减函数. 如图分别为y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的函数图象,直线y=1与四个函数图象的交点从左向右依次为(c,1),(d,1),(a,1),(b,1),即0<c<d<1<a<b. 因此在第一象限内,不同底数的对数函数图象,底数越大,图象越靠右,简记“底大图右”. 　对数函数的概念 [例1] 已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=logπx;④y=log0.04x;⑤y=log3x+1;⑥y=log2(x+1).其中是对数函数的是(　　) A.①②③ B.③④⑤ C.③④ D.②④⑥ 解析:根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0,且a≠1)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数.易知,①是指数函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③中y=logπx是对数函数;④中y=log0.04x是对数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数.故选C. 判断一个函数是对数函数的方法 针对训练:若函数y=log(2a-1)[x+(a2-5a+4)]是对数函数,则a=　　　　　.  解析:因为y=log(2a-1)[x+(a2-5a+4)]是对数函数, 所以 解得a=4. 答案:4 　对数型函数的定义域 [例2] 求下列函数的定义域. (1)f(x)=log(2x-1)(2-x);(2)f(x)=. 解:(1)要使函数有意义,需 即 所以<x<2,且x≠1, 故函数的定义域为{x|<x<2,且x≠1}. (2)要使函数有意义,需 解得x<4,且x≠3, 所