第4章 2 对数的运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 学习目标 1.理解对数的运算性质,通过对数的运算性质的推导,培养逻辑推理的核心素养. 2.会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明,培养数学运算素养. 问题:(1)计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗? (2)计算lg 10,lg 100,lg 1 000及lg 104的值,你能发现什么规律? 提示:(1)因为log24=2,log28=3,log232=5, 所以log24+log28=log2(4×8)=log232; log232-log28=log2=log24; log232-log24=log2=log28. (2)lg 10=1,lg 100=lg 102=2,lg 1 000=lg 103=3,lg 104=4,可见lg 10n=nlg 10=n. 对数的运算性质 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则 (1)loga(M·N)=logaM+logaN. (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMb=blogaM. 思考:若a>0,且a≠1,则loga(MN)=logaM+logaN一定成立吗? 提示:不一定,只有M>0,N>0时才成立. 　对数的运算性质的应用 [例1] 计算下列各式的值: (1)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2; (2). 解:(1)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5·(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. (2)原式===. 利用对数的运算性质化简求值 (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式正用. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的逆用. (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值计算,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简. 针对训练:计算下列各式的值: (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2)log535-2log5+log57-log51.8. 解:(1)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2=lg 10·(lg 5-lg 2)+2lg 2= lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1. (2)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2. 　指数式与对数运算性质的应用 [例2] 已知2a=5b=10,求+的值. 解:由2a=10可知alg 2=1,则=lg 2,同理=lg 5,因此+=lg 2+lg 5=lg 10=1. 变式探究1:若本例改为:已知2a=5b=c,且+=1,求c的值. 解:由2a=5b=c>0知=,=. 又+=+==1,故lg c=1,则c=10. 变式探究2:若本例改为:已知2a=5b=c,且-=1,求c的值. 解:由2a=5b=c>0知=,=, 则-=-==1,故c=. 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化. (2)对于多个指数式的相等问题,可令等式等于k(k>0),然后将指数式两边取对数后结合问题的特征求解. 针对训练:已知正数a,b,c满足2a=25b=10c,求证:-=. 证明:设2a=25b=10c=t(t>0),则 =,=,=. 故-=-==. 又==·=,故-=. 对数方程的解法 (1)对数方程:在对数符号后面含有未知数的方程叫作对数方程. (2)主要类型及解法. ①同底法:由logaf(x)=logag(x)转化得 ②指数法:由logf(x)g(x)=k转化得 ③换元法:由f(logax)=0转化得logax=b,再用指数法. 典例探究:解下列对数方程: (1)lg(x+2)-lg(2x2+x-6)+1=0; (2)log2(x2-6x+9)=log2(2x-6); (3)xlg x+2=108; (4)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2. 解:(1)原式可化为lg(x+2)+1=lg(2x2+x-6), 再化为lg(x+2)+lg 10=lg(2x2+x-6), 即lg[10(x+2)]=lg(2x2+x-6), 即10(x+2)=2x2+x-6>0,整理得2x2-9x-26=0,解方程得x=或x=-2. 经检验x=-2是原方程增根,所以原方程的解是x=. (2)由log2(x2-6x+9)=log2(2x-6)可得x2-6x+9=2x-