第4章 1 对数的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§1　对数的概念 学习目标 1.理解对数的概念,知道自然对数和常用对数,培养抽象概括的核心素养. 2.掌握指数式与对数式的互化以及对数的性质,培养数学运算素养. 问题: 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……依此类推,那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞的个数为8个,256个呢?如果已知细胞分裂后的个数为N,如何求分裂次数呢? 提示:2x个,3次,8次;由2x=N可知当N已知时,x的值即为分裂次数. 1.对数的概念 (1)一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b. 其中a叫作对数的底数,N叫作真数. (2)ax=N⇔x=logaN. (3)常用对数:以10为底数的对数,记作lg N. 自然对数:以无理数e=2.718 281…为底数的对数,记作 ln N. 思考1:指数式ab=N和对数式b=logaN(a>0,a≠1)等价吗? 提示:等价,如图,因此指数式与对数式可以互化. 思考2:任何一个指数式都可以化为对数式吗? 提示:不是,只有底数大于零且不等于1时才可以. 2.对数的性质 (1)loga1=0(a>0,且a≠1). (2)logaa=1(a>0,且a≠1). (3)零和负数没有对数. 3.对数恒等式 (1)=N. (2)logaab=b. 　指数式与对数式的互化 [例1] 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式: (1)33=27;(2)lo8=-3;(3)()-2=16; (4)lg 1 000=3. 解:(1)因为33=27,所以log327=3. (2)因为lo8=-3,所以()-3=8. (3)因为()-2=16,所以lo16=-2. (4)因为lg 1 000=3,所以103=1 000. 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式. (2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 针对训练:将下列对(或指)数式化成指(或对)数式: (1)logx=3;(2)logx64=-6; (3)3-2=;(4)()x=16. 解:(1)因为logx=3,所以()3=x. (2)因为logx64=-6,所以x-6=64. (3)因为3-2=,所以log3=-2. (4)因为()x=16,所以lo16=x. 　对数的性质 [例2] 求下列各式中x的值. (1)log2(log5x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)log3(log4(log5x))=0. 解:(1)因为log2(log5x)=0, 所以log5x=20=1,所以x=51=5. (2)因为log3(lg x)=1,所以lg x=31=3, 所以x=103=1 000. (3)由log3(log4(log5x))=0, 可得log4(log5x)=1, 故log5x=4,所以x=54=625. 变式探究1:若将本例中(3)“log3(log4(log5x))=0”改为“log3(log4(log5x))=1”,又如何求解x呢? 解:由log3(log4(log5x))=1可得log4(log5x)=3, 则log5x=43=64,所以x=564. 变式探究2:本例中的(2)改为log(x+1)(2x-3)=1.如何求x的值? 解:由log(x+1)(2x-3)=1,可得 解得x=4. 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解. 　对数恒等式 [例3] 计算:(1);(2);(3). 解:(1)原式=6×=6×36=216. (2)原式=(===. (3)原式=(==c. 性质=N与logaab=b的作用 (1)=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式. (2)logaab=b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数. 针对训练:(1)已知函数f(x)=2x,则f(2+log23)=　　　　.  (2)对数式的值为　　　　.  解析:(1)因为f(x)=2x,所以f(2+log23)==22×=4×3=12. (2)=(32==4. 答案:(1)12　(2)4 1.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为(　B　) A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0且a≠1 D.a< 解析:由题意知解得0<a<.故选B. 2. 以下对数式中,与指数式5x=6等价的是(　A　) A.lo