第3章 3 指数函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§3　指数函数 3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质 学习目标 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,培养数学抽象的核心素养. 2.能从实例中归纳出指数函数的图象和性质,培养逻辑推理与直观想象的核心素养. 问题1:(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x之间的关系是什么? (2)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩余的这种物质是原来的84%,那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么? (3)你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗? 提示:(1)y=2x(x∈N+). (2)y=0.84x. (3)共同点:变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数.不同点:底数的取值不同. 1.指数函数的概念 根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应,因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数. 思考1:指数函数定义中为什么规定a>0,且a≠1? 提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,无研究的必要;当x≤0时,ax无意义. ②如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x=,,…,在实数范围内的函数值不存在. ③如果a=1,则y=1x是一个常量,无研究的必要. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1. 思考2:由指数函数的定义看,函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是什么? 提示:(0,+∞). 思考3:指数函数与幂函数的解析式有什么区别? 提示:指数函数是形如y=ax(a>0且a≠1)的函数,其自变量在指数位置上,而幂函数是形如y=xα的函数,其自变量在底数位置上. 问题2:(1)你能在同一平面直角坐标系中用描点法画出y=2x及y=() x的图象吗? (2)结合图象你发现它们有什么特点和联系了吗? 提示:(1)列表: x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=2x … 0.25 0.35 0.5 0.71 1 y= () x … 4 2.83 2 1.41 1 x 0.5 1 1.5 2 … y=2x 1.41 2 2.83 4 … y= () x 0.71 0.5 0.35 0.25 … 描点并连线: (2)共同点:都在x轴上方,都过点(0,1).不同点:y=() x的图象是下降的,y=2x的图象是上升的.联系:二者关于y轴对称. 2.指数函数的图象与性质 图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1),即当x=0时,y=1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=ax与y=a-x的图象 关于y轴对称 思考4:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象的“升”与“降”,由什么决定? 提示:底数a的大小.当a>1时,函数图象具有上升的趋势;当0<a<1时,图象具有下降的趋势. 思考5:在平面直角坐标系中指数函数图象不能出现在第几象限? 提示:指数函数图象只能出现在第一、二象限,不可能出现在第三、四象限. 思考6:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中底数a对函数图象有什么影响? 提示:设a>b>1>c>d>0,则y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图, 从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. 　指数函数的概念 [例1] 下列函数中,是指数函数的是(　　) A.y=10x+1 B.y=10x+1 C.y=x10 D.y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9) 解析:y=10x+1是由y=10x和y=10这两个函数相乘得到的函数,不是指数函数;y=10x+1是由y=10x和y=1这两个函数相加得到的函数,不是指数函数;由于10+a>0,且10+a≠1,即底数是符合要求的常数,故y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9)是指数函数;y=x10的底数不是常数,故不是指数函数.故选D. 判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为 针对训练:若y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则　(　　) A.a=1或2 B.a=1 C.a=2 D.a>0,且a≠1 解析:由y=(a2-3a+3)ax是指数函数, 得 所以a=2.故选C. 　指数(型)函数的图象 角度1　根据指数