第3章 1—2-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§1　指数幂的拓展 §2　指数幂的运算性质 学习目标 1.通过指数幂拓展的学习,理解n次方根及根式的概念,能正确运用根式运算性质进行运算,培养数学抽象的核心素养. 2.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化,培养数学运算的核心素养. 3.掌握有理数指数幂的运算性质,培养数学运算的核心素养. 　　牛顿是大家所熟悉的物理学家,但你知道他在数学上的贡献吗?他在写给莱布尼茨的信里面说:“因为数学家将aa,aaa,aaaa等写成a2,a3,a4等,所以可将,,…写成,,…;将,,,…写成a-1,a-2,a-3,….”正是由于牛顿的这一发现,才使得正整数指数幂推广到了任意实数指数幂.本节我们就一起来探究一下指数幂的扩充过程. 1.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.规定:=(a>0,m,n∈N+,n>1且m,n互素) 负分数 指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N+,n>1且m,n互素) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 思考1:在分数指数幂与根式的互化公式=中,为什么必须规定a>0? 提示:①若a=0,0的正分数指数幂恒等于0,即==0,无研究价值. ②若a<0,=不一定成立,如(-2=无意义,故为了避免上述情况规定了a>0. 思考2:分数指数幂能理解为个a相乘吗?如何理解其意义呢? 提示:不能.分数指数幂不可以理解为个a相乘.事实上,它是根式的一种新写法.对于(a>0)意义的理解,除可以根据定义外,也可以借助根式理解:将(a>0)看成根式,由此可以看出就是正数am的n次方根,如==(即27的4次算术根). 2.指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质. (1)aα·aβ=aα+β. (2)(aα)β=aαβ. (3)(ab)α=aαbα. (1)根式及相关概念. ①a的n次方根.如果xn=a,那么x叫作a的n次方根,其中n>1,且n∈N+. ②a的n次方根的表示. n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0,+∞) ③根式.式子叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数. (2)根式的性质(n>1,且n∈N+). ①n为奇数时,=a. ②n为偶数时,=|a|= ③=0. ④负数没有偶次方根. 　根式与分数指数幂 [例1] (1)化简下列各式: ①+()5;②+()6. (2)若-3<x<3,求-的值. 解:(1)①原式=(-2)+(-2)=-4. ②原式=|-2|+2=2+2=4. (2)-=-=|x-1|-|x+3|, 当-3<x≤1时,原式=1-x-(x+3)= -2x-2. 当1<x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4. 综上,原式= (1)()n与的理解.()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定.当n为大于1的奇数时,()n=a(a∈R);当n为大于1的偶数时,()n=a(a≥0).而是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,因此a∈R,但是该式子的值受n的奇偶性限制,= (2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当地变形,达到化繁为简的目的. (3)在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值号表示,然后利用已知条件去绝对值号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论. 针对训练:化简:(1)(x<π,n∈N+); (2). 解:(1)因为x<π,所以x-π<0. 当n为偶数时,=|x-π|=π-x; 当n为奇数时,=x-π. 综上可知,= (2)=|x+2|= 　指数幂的运算性质 [例2] 化简求值: (1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c); (2)7-3-6+; (3)0.008 1-0.25-[3×() 0] -1×[81-0.25+(3)] -0.5-10×0.02. 解:(1)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c) =-a-3(-4)b-2-(-2)c-1 =-ac-1 =-. (2)原式=7×-3××2-6×+(3× =-6×+ =2×-2×3× =2×-2× =0. (3)原式=[() 4]-3-1×[3-1+()-1]-10×(0.33 =()-1-×(+)-10×0.3 =--3 =0. 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. (2)负指