第2章 4 函数的奇偶性与简单的幂函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 学习目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义,培养直观想象和数学抽象的核心素养. 2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题,发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　在我们的日常生活中,随时随处可以看到许许多多对称的现象,例如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影等等. 函数的奇偶性 前提 一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D 条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 结论 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数 图象 特征 关于原点对称 关于y轴对称 等价 形式 若f(x)≠0,则=-1 若f(x)≠0,则=1 思考1:函数的奇偶性定义中的“任意的”可以省略吗? 提示:不能省略.如函数y=x2,x∈[-2,5],有f(-2)=4=f(2),f(-1)=f(1),但不能因此就说函数y=x2,x∈[-2,5]是偶函数,因为f(-5)是没有定义的. 思考2:若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称,f(x),g(x)是偶函数吗? 提示:不是偶函数,因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数. 思考3:若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)的值是多少?偶函数是否有这个性质? 提示:由于函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),又函数f(x)在x=0处有定义,于是f(0)=f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.偶函数没有这个性质. (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.既是奇函数又是偶函数的函数为f(x)=0,其定义域关于原点对称. (2)偶函数的y=f(x)满足f(-x)=f(x)=f(|x|). 　判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)=|x+3|+|x-3|. 解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 因此函数f(x)是奇函数. (2)由得x2=1,即x=±1. 因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x), 因此函数f(x)是偶函数. 判断函数奇偶性的步骤:先看定义域是否关于原点对称;若不对称,则既不是奇函数也不是偶函数,若对称,则再看f(-x)与f(x)的关系,即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0. 易错警示:(1)若函数的解析式不是最简形式,需要等价变形后化简函数的解析式再判断函数的奇偶性. (2)函数解析式中含参数的需要对参数分类讨论. 针对训练:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x4+2x2;(2)f(x)=; (3)f(x)=+; (4)f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数. (2)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}且f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (3)函数f(x)=+的定义域满足即x=1, 因此函数的定义域为{1},不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数的定义域为R,关于原点对称,当b=0时,f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),此时函数f(x)是偶函数;当b≠0时,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 　函数奇偶性的图象特征 [例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补出完整的函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解:(1)由题意作出函数图象如图. (2)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2). 由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题. 针对训练:如图,给出了函数y=f(x)的局部图象,根据下列条件画出函数在y轴右侧的图象,并比较f(1)与f(3)的大小. (1)f(x)是偶函数;(2)f