4.2.1直线与圆的位置关系 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版必修2

直线与圆的位置关系 1 点与圆的位置关系： （1）点P在圆上 （2）点P在圆内 （3）点P在圆外 旧知回顾： 2 题型一：判断直线与圆位置关系 题型二：求弦长 题型三、求圆的切线方程 题型五、判断点的个数问题 题型四、数形结合问题 问题1：直线和圆有几种不同的位置关系？ 问题2： 已知直线和圆的方程，如何判断其位置关系？ 由平面几何知识知，直线与圆 有三种位置关系：相离、相切、相交 判断直线与圆位置关系的方法： （1）代数法： ① △＞0 消去x(或y),得到关于x(或y)的一元二次方程， 利用判别式△确定解的情况， 直线l与圆C相交； 方程有两不等实根 ② △＝0 直线l与圆C相切； 方程有两个相等实根 ③ △＜0 直线l与圆C相离. 方程无实数根 直线l:Ax+By+C=0 圆C:x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 判断直线与圆位置关系： 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: 当d>r时，直线与圆相离； 当d=r时，直线与圆相切; 当d<r时，直线与圆相交 把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准式，求出圆心和半径 （2）几何法： 直线l: Ax+By+C=0 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2 6 代数法： 3x +y－6=0 x2 + y2 － 2y － 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0 所以方程组有两解， 直线L与圆C相交 几何法： 圆心C（0，1）到直线L的距离 d= = r 所以直线L与圆C相交 比较：几何法比代数法运算量少，简便。 d r 弦长= 如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 题型一：判断直线与圆位置关系 7 例2. 求以C(1，3)为圆心，并且和直线 3x－4y－7=0 相切的圆的方程。 C y x O M 解：设所求圆的方程为： (x-1)2+(y-3)2=r2 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等于半径 r 因此，所求圆的方程是 (x－1)2+(y－3)2 根据点到直线的距离公式，得 题型二：求弦长 d r 解 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 x y O A B d r 已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值 练习：求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。 题型二：求弦长 10 已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 ， 求直线l的方程。 . x y O M . X+2y+9=0,或2x-y+3=0 题型二：求弦长 11 已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l: (2m+1)x +(m+1)y = 7m +4 （1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （2）求直线 l 被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程. 解： . . 题型二：求弦长 . . C A B D 已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l: (2m+1)x +(m+1)y = 7m +4 求直线 l 被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程. 解 . . C A B D （2）求直线 l 被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线 l 的方程. 解2 则 得 设 B(x1, y1),D(x2, y2), 最短时的直线方程. 由 若直线l:y=kx+b与圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2 交于A(x1, y1), B(x2, y2)， 弦长公式： 则 y=kx+b (x－a)2 + (y－b)2=r2 题型三、求圆的切线方程的常用方法 (1)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条. 这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值. (2)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.k切= 代入点斜式方程可得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2. ②若点P(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 16 证明： P(x , y )