二面角及其平面角 专题课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版必修2

二面角及其平面角 1 概念 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面. 半平面 半平面 射线 射线 从一点出发的两条射线，构成平面角. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面.   m 记为：二面角-m- 记作AOB A B O l   A B   二面角－AB－    l 二面角－ l－  二面角C－AB－ D A B C D (3)二面角的平面角— 过二面角棱上任一点在两个 半平面内分别作垂直于棱的射线， 则这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。 α β B 。 O A B1 。 O1 A1 垂直于二面角棱的任一平面 与两个半平面的交线所成的角叫做 二面角的平面角。 α β B 。 O A B 。 O A α β B 。 O A 二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内   l O A B   A O B 哪个对?怎么画才对? 二面角的大小可以用它的平面角来度量． 即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． 二面角的范围：[ 0o, 180o ]． ① 二面角的两个面重合： 0o； ② 二面角的两个面合成一个平面：180o； 3．二面角的大小 ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． 思考:如图， 过二面角α-l-β一个面内一点A， 作另一个面的垂线，垂足为B， 过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO， 则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？ A B O l α β 8 1.定义法 根据定义作出来 2.垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到   l γ A B O   l O A B 3.垂线法 A O   l D 小结二面角的平面角的作法： 在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，指出大小. 归纳：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算. 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值. A A1 B C D B1 C1 D1 O 长方体A'C'–AC中, AB= BC=1, A'A=2. ①二面角D'-AC-D 的正切值为____ ②对角面C'D'AB与底面ABCD所成角 的正切值为____ ③A到侧面B'BCC'的距离为____ o D' A B C D A' B' C' 距离=AB 2 2 2/2 2 2 tan∠C'BC= 2 1 2 1 1 tan∠D'OD = 1 长方体A'C'–AC中, AB=BC=1,A'A=2 ④对角面 C'D'AB 与侧面 B'BCC' 所 成二面角的平面角为____ ⑤B到平面A'ACC'的距离为_____ 2 1 1 o D' A B C D A' B' C' BO⊥AC BO⊥A'A BO⊥平面A'ACC' 2/2 => 900 AB⊥侧面B'BCC' ∴对角面⊥侧面 ∴距离为BO 解: PF是斜线, 作OF⊥BC于F, 连PF PO⊥底面ABCD ∴ BC⊥PF ∴∠PFO为P- BC- D的平面角 OP=4, OF=3, PF=5 = 3/5 cos∠PFO = OF PF F 射影为OF 求二面角P–BC–D的余弦值 4 6 D P B C A o 正四棱锥的高为4, 底面边长为6 由①: BC⊥AC 解: PA ⊥面ABC PC斜线 AC射影 ∴BC⊥PC ∴∠PCA为P- BC- A的平面角 AB为圆直径, C为圆上点, PA⊥平面ABC. PA=2, AB=4, ∠ABC=600. 求二面角P-BC-A的正弦值 A B P C 2 4 sin∠PCA= PA PC =1/2 AC= ABsin600 =2 3, 4 PC= AB⊥AC, PA⊥AC, 侧面PAC⊥底面ABC, PA=8, AB=AC=6 ①求二面角P - BC - A的正切值 B A P C E 8 6 解: 作AE⊥BC于E AE射影 ∴BC⊥PE PA ⊥底面ABC 连接PE ∴∠PEA为P- BC- A的平面角 PA AE =4 2/3 tan∠PEA= BC= AE= 6 2, 3 2, = 1 2 BC PA⊥AC 面PAC⊥底面ABC于AC => PE斜线, AF射影 AB⊥AC, PA⊥AC, 侧面PAC⊥底面ABC, PA=8, AB=AC=6