11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

训练十四　祖暅原理与几何体的体积 [对应素能提升训练第27页] 1.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （　　） A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 解析　由题意可得，设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×πr3＝πr2（6r－6），解得r＝3，故选B. 答案　B 2.现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降 （　　） A.0.6 cm B.0.15 cm C.1.2 cm D.0.3 cm 解析　设杯里的水下降h cm，由题意得πh＝×20×π×32，解得h＝0.6 cm. 答案　A 3.如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若正方体的棱长为1，则该几何体的体积为 （　　） A. B. C. D. 解析　由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是8×××××＝，正方体的体积为1×1×1＝1，则所求体积是1－＝. 答案　D 4.（2022·衡水高一期中）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为 （　　） A.100 cm3 B.200 cm3 C.300 cm3 D.400 cm3 解析　 根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为h，所以＝，解得h＝10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V＝×π×52×10－×π×32×6＝ π≈200 cm3. 答案　B 5.如图为一位体育老师利用某体积为144的长方体废旧塑料制作了一个篮球回收筐，篮球回收筐最左面是正方形ABCD（顶点A，B，C，D为原长方体棱的中点），与之相邻的四个面都是全等三角形，投入口部分是边长为2的正六边形（阴影部分），里面已经放置了3个直径为2的篮球，若不考虑筐壁厚度，则剩余空间的容积为 （　　） A.142－6π B.142－8π C.142－12π D.144－12π 解析　由题意知篮球回收筐为长方体截去全等的4个小三棱锥，又截去的每个小三棱锥的体积为××（）2×1＝，所以篮球回收筐容积为V＝144－4×＝142，所以剩余空间的容积为V＝142－3×π（）3＝142－12π. 答案　C 6.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为　　　　.  解析　∵V＝π62·h＝30π，∴h＝，∴l＝＝ ＝， ∴S侧＝πrl＝π×6×＝39π. 答案　39π 7.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的高为　　　　，体积为　　　　.  解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图. ∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝2. ∴下底面半径R＝8，高h＝8， ∴V圆台＝π（r2＋rR＋R2）h＝224π. 答案　8　224π 8.（1）已知球的表面积为64π，求它的体积； （2）已知球的体积为π，求它的表面积. 解　（1）设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4. 所以球的体积V＝×π×r3＝π. （2）设球的半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5， 所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π. 9.如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积. 解　V六棱柱＝×42×6×2＝48（cm3）， V圆柱＝π·32×3＝27π（cm3）， V挖去圆柱＝π·12×（3＋2）＝5π（cm3）， ∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48＋22π）（cm3）. 10.如图所示，在长方体ABCD －A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C'－A'DD'，则棱锥C'－A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为 （　　） A.1∶5 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶2 解析　由图知，VC－A'DD'＝·C'D'·S△A'DD'，VABCD－A'B'C'D'＝C'D'·SA'D'DA，而SA'D'DA＝2S△A'DD'，∴剩余部分的体积为VABCD－A'B'C'D'—VC'－A'DD'＝C'D'·S△A'DD'，∴棱锥C'－A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为1