11.1.4 棱锥与棱台（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

训练十二　棱锥与棱台 [对应素能提升训练第23页] 1.（多选）下面图形中，为棱锥的是 （　　） 解析　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，AB是棱锥，C不是棱锥，D是棱锥.故选ABD. 答案　ABD 2.（多选）观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是 （　　） A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.故选ACD. 答案　ACD 3.底面边长为10、高为5的正四棱锥的侧面积是 （　　） A.100 B.100 C.100 D.25 解析　正四棱锥的斜高为＝5，则其侧面积是4××10×5＝100. 答案　B 4.1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781－1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数.泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，已知金字塔形正四棱锥P－ABCD的底面边长约为656 米，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息，PH的长度（单位：米）约为 （　　） A.302.74 B.405.4 C.530.7 D.1061.4 解析　设BC＝2a，PO＝h，PH＝s，则h2＝as，又由勾股定理h2＝s2－a2，故as＝s2－a2，即－－1＝0.因此可求得＝，则PH＝s＝a＝×≈530.7. 答案　C 5.已知正三棱锥P－ABC侧棱长PA＝2，∠APB＝40°.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是 （　　） A.2 B.2 C.3 D.4 解析　三棱锥的侧面展开图如图，AA'最短，∠APA'＝120°， AA'2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，∴AA'＝2. 答案　B 6.一个棱台至少有　　　　个面，面数最少的棱台有　　　　个顶点，有　　　　条棱.  解析　面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱. 答案　5　6　9 7.若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为　　　　.  解析　由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，高为3，则侧棱长为＝. 答案　 8.如果平行于一个正棱锥底面的截面面积是底面面积的，那么截面截一条侧棱所得两条线段的比是多少？ 解　如图，∵＝，∴＝，∴＝， 即截面截一条侧棱所得两条线段的比为1∶（－1）. 9.如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是BC的中点，O为底面中心，∠SHO＝60°，求： （1）正六棱锥的高； （2）正六棱锥的斜高； （3）正六棱锥的侧棱长. 解　∵正六棱锥的底面周长为24， ∴正六棱锥的底面边长为4. 在正六棱锥S －ABCDEF中，SB＝SC，H为BC中点， ∴SH⊥BC. ∵O是正六边形ABCDEF的中心， ∴SO为正六棱锥的高. （1）在Rt△SOH中，OH＝BC＝2，又∠SHO＝60°，∴SO＝OHtan 60°＝6. （2）在Rt△SOH中，SH＝＝4. （3）在Rt△SHB中，SH＝4，BH＝2， ∴SB＝＝2. 故该正六棱锥的高为6，斜高为4，侧棱长为2. 10.已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点O'到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于d，则d＝ （　　） A. B. C. D. 解析　由题意可得sin α＝＝＝， 且sin α＝＝＝，解得d＝. 答案　A 11.“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示.其可近似看作正四棱台，上底面是边长为6 dm的正方形，下底面是边长为2 dm的正方形，高为4 dm.“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为 （　　） A.8 B.16 C.2 D.4 解析　由正四棱台，上底面是边长为6 dm的正方形，下底面是边长为2 dm的正方形，高为4 dm，四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为＝2 dm，所以“斗”的所有侧面的面积之和为S1＝4×（6＋2）×2＝32 dm2，下底面的面积为S2＝4 dm2，所以＝8. 答案　A 12.已知三棱锥S－ABC的所有棱长都相等，点M是线段SB上的动点，点N是线段SC上靠近S的三等分点，若AM＋MN的最小值为2，则三棱锥S－ABC的棱长为　　　　.  解析　如图所示，将平面SAB， 平面SBC展开至同一平面， 连接AN交SB于点M，故AM＋MN的值最小为AN＝2，设三棱锥S－ABC的棱长为3a，则在△SAN中，∠ASN＝120°，SA＝3a，SN＝a，由余弦定理可知cos ∠ASN＝＝＝－，解得a＝2，所以三棱锥的棱长为6. 答案　6 13.已