6.3 利用导数解决实际问题（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

训练二十三 利用导数解决实际问题 [对应素能提升训练第47页] 1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（200－x）件，则当利润最大时，每件商品的定价为 （　　） A.105元 B.110元 C.115元 D.120元 解析　由题意，知0＜x＜200，利润为S（x）＝（x－30）（200－x）＝－x2＋230x－6 000，S'（x）＝－2x＋230.令S'（x）＝0，得x＝115，∴x＝115时，利润最大. 答案　C 2.把一段长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 （　　） A. cm2 B.4 cm2 C.3 cm2 D.2 cm2 解析　设一段长为x，则另一段长为12－x（0＜x＜12），则S（x）＝××＋××＝（x2－12x＋72）＝x2－x＋4，S'（x）＝x－.令S'（x）＝0，得x＝6.易知当x＝6时，S（x）最小.所以S（x）min＝S（6）＝2（cm2）. 答案　D 3.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式y＝ln x－x－＋9，要使年利润最大，小李应向银行贷款 （　　） A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元 解析　依题意y＝ln x－x－＋9，且0＜x≤10， y'＝－1＋＝＝， 所以函数y＝ln x－x－＋9在（0，4）上，y'＞0，函数递增；在（4，10）上，y'＜0，函数递减. 所以当x＝4万元时，函数取得最大值.故选B. 答案　B 4.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x（x∈（0，0.048）），为使银行获得最大收益，则存款利率应定为 （　　） A.0.032 B.0.04 C.0.052 D.0.048 解析　存款利率为x，依题意，存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈（0，0.048）.所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3（0＜x＜0.048），由于y'＝0.096kx－3kx2.令y'＝0，得x＝0.032或x＝0（舍去）.又当0＜x＜0.032时，y'＞0；当0.032＜x＜0.048时，y'＜0，所以当x＝0.032时，y取得最大值. 答案　A 5.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为 （　　） A.32米，16米 B.30米，15米 C.40米，20米 D.36米，18米 解析　设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512，则所用材料l＝x＋2y＝2y＋（y＞0），求导数，得l'＝2－.令l'＝0，解得y＝16或y＝－16（舍去）.当0＜y＜16时，l'＜0；当y＞16时，l'＞0，所以y＝16是函数l＝2y＋（y＞0）的极小值点，也是最小值点.此时，x＝＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省. 答案　A 6.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为　　　　.  解析　设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r（r＞0），则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋（r＞0），求导数，得S'＝2πr－.令S'＝0，解得r＝3.当0＜r＜3时，S'＜0；当r＞3时，S'＞0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省. 答案　3 7.某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C＝1 200＋x3，P＝，则当x＝　　　　时，总利润最高.  解析　设总利润为L（x）万元，则由题意得L（x）＝x·－1 200－x3＝－x3＋500－1 200（x＞0）. 由L'（x）＝－x2＋＝0，得x＝25. 令L'（x）＞0，得0＜x＜25；令L'（x）＜0，得x＞25， 所以L（x）在区间（0，25）上单调递增，在区间（25，＋∞）上单调递减， 所以当x＝25时，总利润最高. 答案　25 8.一蒸汽机火车每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其余费用每小时1 250元，问火车行驶的速度是多少时（速度不超过100 km/h），全程a km费用最少？ 解　设速度为x km/h，则总费用为 f（x）＝（kx3＋1 250）＝a（0＜x≤100）. ∵40＝k·203，∴k＝， ∴f（x）＝