6.2.2 第2课时 函数的导数与最值（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

训练二十二 函数的导数与最值 [对应素能提升训练第45页] 1.已知函数f（x）＝ex－2x＋3，则f（x）在定义域上 （　　） A.有极小值5－2ln 2 B.有极大值2ln 2 C.有最大值 D.无最小值 解析　因为f（x）＝ex－2x＋3定义域为R，所以f'（x）＝ex－2.令f'（x）＞0，即ex－2＞0，解得x＞ln 2，即f（x）在（ln 2，＋∞）上单调递增；令f'（x）＜0，即ex－2＜0，解得x＜ln 2，即f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，所以x＝ln 2时函数取得极小值即最小值，所以f（x）min＝f（ln 2）＝eln 2－2ln 2＋3＝5－2ln 2，故有极小值5－2ln 2，最小值5－2ln 2，无极大值与最大值，故选A. 答案　A 2.（多选）已知函数f（x）的图象如图所示，则下列选项中正确的是 （　　） A.f（x）在区间（－1，1）上单调递增 B.x＝－1是函数f（x）的极小值点 C.函数f（x）在x＝1处取得最大值 D.f（x）的图象在x＝2处的切线斜率小于零 解析　由图象可知，f（x）在区间（－1，1）上单调递增，故A正确；在区间（－2，－1）和（1，3）上单调递减，所以f（x）在x＝－1处取得极小值，即x＝－1是函数f（x）的极小值点，故B正确；在x＝1处取得极大值，但不一定是最大值，故C错误；由于（1，3）上单调递减，所以x∈（1，3）时，f'（x）＜0，所以f'（2）＜0，由导数的几何意义可知，f（x）的图象在x＝2处的切线斜率小于零，故D正确. 答案　ABD 3.函数f（x）＝－cos x在上的最小值为 （　　） A.－ B.＋1 C.－1 D.－－ 解析　因为f（x）＝－cos x，所以f'（x）＝＋sin x.当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）min＝f＝－－. 答案　D 4.已知函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a（a为常数），在区间[－2，2]上有最大值20，那么此函数在区间[－2，2]上的最小值为 （　　） A.－37 B.－7 C.－5 D.－11 解析　由题意，函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a，x∈[－2，2]，可得f'（x）＝－3x2＋6x＋9.令f'（x）＝0，即－3x2＋6x＋9＝0，解得x＝－1或3（舍去）.当－2＜x＜－1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当－1＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝－1时取最小值，而f（2）＝22＋a＞f（－2）＝2＋a，即最大值为22＋a＝20，所以a＝－2，所以此函数在区间[－2，2]上的最小值为f（－1）＝－5－2＝－7. 答案　B 5.（多选）已知函数f（x）＝ln（e2x＋1）－x，则下列说法正确的有 （　　） A.f（ln 2）＝ln B.f（x）是奇函数 C.f（x）在（0，＋∞）上单调递增 D.f（x）的最小值为ln 2 解析　f（ln 2）＝ln（e2ln 2＋1）－ln 2＝ln 5－ln 2＝ln ，A正确；f（x）＝ln（e2x＋1）－x＝ln（ex＋e－x）定义域为R，其中f（－x）＝ln（e－x＋ex）＝f（x），故f（x）是偶函数，B错误；f'（x）＝，当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＝＞0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增，C正确；根据f（x）在（0，＋∞）上单调递增且f（x）是偶函数，则f（x）在（－∞，0）单调递减，故f（x）的最小值为f（0）＝ln 2，故D正确. 答案　ACD 6.已知函数f（x）＝x3－3x的值域为[－2，2]，则f（x）的定义域可以是　　　　.（写出一个符合条件的即可）  解析　因为f（x）＝x3－3x，所以f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）.当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜1时f'（x）＜0，即函数的单调增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），函数的单调递减区间为（－1，1），所以x＝－1和1为函数f（x）的极值点.当x＝1时，f（1）＝－2；当x＝－1时，f（－1）＝2.又f（2）＝2，f（－2）＝－2，函数图象如下所示， 因为函数f（x）＝x3－3x的值域为[－2，2]，所以函数的定义域可以为[－1，1]. 答案　[－1，1]（答案不唯一） 7.若函数f（x）＝x3－x2在区间（a，a＋4）内存在最大值，则实数a的取值范围是　　　　.  解析　由题可知，f'（x）＝x2－2x.令f'（x）＞0⇒x＜0或x＞2；令f'（x）＜0⇒0＜x＜2，所以函数f（x）在（0，2）单调递减，在（－∞，0），（2，＋∞）单调递增，故函数的极大值为f（0）＝0，所以在开区间（a，a＋4）内的最大值一定是f（0）＝0，又f（3）＝f（0）＝0，