6.1.3 基本初等函数的导数（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

训练十七 基本初等函数的导数 [对应素能提升训练第35页] 1.（多选）下列求导数运算正确的有 （　　） A.（sin x）'＝cos x B.'＝－sin C.（log3x）'＝ D.（ln x）'＝ 解析　（sin x）'＝cos x，故A正确；'＝0，故B错误；（log3x）'＝，故C错误；（ln x）'＝，故D正确. 答案　AD 2.已知f（x）＝，则f'（8）等于 （　　） A.0 B.2 C. D.－1 解析　∵f（x）＝，得f'（x）＝，∴f'（8）＝×＝. 答案　C 3.已知函数f（x）＝ax3，若f'（－1）＝－4，则a的值等于 （　　） A. B.－ C. D.－ 解析　∵f'（x）＝3ax2，f'（－1）＝3a（－1）2＝－4，∴a＝－. 答案　B 4.曲线y＝cos x在x＝处的切线的斜率为 （　　） A.－ B.－ C. D. 解析　设f（x）＝cos x，则f'（x）＝－sin x，f'＝－sin ＝－. 答案　A 5.幂函数y＝xα在其图象上点（2，16）处的切线方程为 （　　） A.y＝32x－48 B.y＝32x＋48 C.y＝－32x－48 D.y＝－32x＋48 解析　∵点（2，16）在幂函数y＝xα的图象上，∴2α＝16，∴α＝4，∴y＝x4.∴y'＝4x3，y'｜x＝2＝32，∴所求的切线方程为y－16＝32（x－2），即y＝32x－48.选A. 答案　A 6.已知f（x）＝ln x，且f'（x0）＝，则x0＝　　　　.  解析　因为f（x）＝ln x（x＞0），所以f'（x）＝，所以f'（x0）＝＝，所以x0＝1. 答案　1 7.曲线f（x）＝在点M（3，3）处的切线方程是　　　　.  解析　∵f'（x）＝－，∴f'（3）＝－1，∴曲线在点（3，3）处的斜率为－1的切线方程为y－3＝－（x－3），即x＋y－6＝0. 答案　x＋y－6＝0 8.求下列函数的导数： （1）y＝2 022； （2）y＝； （3）y＝3x； （4）y＝log5x. 解　（1）因为y＝2 022，所以y'＝（2 022）'＝0. （2）因为y＝＝， 所以y'＝－＝－. （3）因为y＝3x，所以y'＝3xln 3. （4）因为y＝log5x，所以y'＝. 9.已知曲线f（x）＝ln x，点P（e，1）是曲线上一点. （1）求曲线y＝ln x在点P处的切线方程； （2）求曲线y＝ln x过点O（0，0）的切线方程. 解　（1）∵f'（x）＝，∴k＝f'（e）＝， ∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. （2）∵O（0，0）不在曲线y＝ln x上. ∴设切点为Q（x0，y0），则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e， ∴Q（e，1），∴k＝， ∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 10.若f（x）＝sin x，f'（α）＝，则下列α的值中满足条件的是 （　　） A. B. C.π D.π 解析　∵f（x）＝sin x，∴f'（x）＝cos x. 又∵f'（α）＝cos α＝，∴α＝2kπ±（k∈Z）. 当k＝0时，α＝±，∴可取α＝. 答案　A 11.函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有 （　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 解析　∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），∴3＝1，解得x0＝±.∴在点和点处有斜率等于1的切线，∴满足题意切线有2条. 答案　B 12.若过原点的直线l与曲线y＝2＋ln x相切，则切点的横坐标为 （　　） A. B. C.2 D.e 解析　设切点坐标为（x0，2＋ln x0），由y'＝，切线方程为y－2－ln x0＝（x－x0），原点坐标代入切线方程，得2＋ln x0＝1，解得x0＝. 答案　B 13.已知曲线f（x）＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值. 解　设切点为（x0，ln x0），由f（x）＝ln x，得f'（x）＝. 因为曲线f（x）＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以f'（x0）＝＝1，即x0＝1，所以切点为（1，0）， 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 14.已知A，B，C三点在曲线f（x）＝上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，求实数m的值. 解　在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B处的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大. ∵f'（m）＝，又A点坐标为（1，1），C点坐标为（4，2）， ∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $