5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的应用（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

训练十 等比数列前n项和的应用 [对应素能提升训练第19页] 1.数列{（－1）nn}的前n项和为Sn，则S2 022等于 （　　） A.1 011 B.－1 011 C.2 022 D.－2 022 解析　S2 022＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－2 021＋2 022）＝1 011. 答案　A 2.记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n＋1，则S100的值为 （　　） A.5 050 B.2 600 C.2 550 D.2 450 解析　当n为奇数时，an＋2－an＝2，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列；当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{an}是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列. 则S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝50＋×2＋50×2＝2 600. 答案　B 3.我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前日的一半.现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为，那么前四日所取木棒的总长度为 （　　） A.1 B. C. D. 解析　由题意可知，每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，所以前四日所取木棒的总长度为＝. 答案：C 4.数列{n·2n}的前n项和等于 （　　） A.（n－1）·2n－2n＋2 B.（n－1）·2n＋1＋2 C.（n－1）·2n D.（n－1）·2n＋1 解析　设{n·2n}的前n项和为Sn， 则Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， ① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1， ② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，所以Sn＝n·2n＋1－2n＋1＋2＝（n－1）·2n＋1＋2. 答案　B 5.已知数列{an}满足a1＝，a2＝，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1（n∈N＋），记数列的前n项和为Sn，则S2 021＝ （　　） A.2 021·22 021 B.2 021·22 022 C.2 022·22 021 D.2 022·22 022 解析　降标相减可得anan＋1＝[nan＋1－（n－1）an]（n≥2），即2anan＋1＝nan＋1－（n－1）an（n≥2）， 变形得2＝－（n≥2）， 降标相减可得＝＋（n≥3）. 可算得＝2，＝3，＝4， 即是等差数列，可得＝n＋1⇒＝（n＋1）2n， 所以Sn＝2·21＋3·22＋…＋（n＋1）·2n， 所以2Sn＝2·22＋3·23＋…＋（n＋1）·2n＋1， 错位相减可得Sn＝n·2n＋1. 所以S2 021＝2 021·22 022. 答案　B 6.数列{an}的通项公式an＝ncos，前n项和为Sn，则S20＝　　　　.  解析　S20＝（1×0－2×1＋3×0＋4×1）＋…＋（17×0－18×1＋19×0＋20×1） ＝（－2＋4）＋…＋（－18＋20）＝2×5＝10. 答案　10 7.我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）.则宝塔的顶层有　　　　盏灯.  解析　用数列{an}每层塔灯的盏数，则{an}成等比数列， S7＝381，顶层灯盏数为a1，则q＝2，所以S7＝＝381，解得a1＝3. 答案　3 8.已知数列{an}是等差数列，a1＝3，a3＝7. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　（1）设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，即7＝3＋2d，解得d＝2， ∴an＝3＋（n－1）×2＝2n＋1 （2）∵bn＝＋an＝22n＋1＋2n＋1， ∴Tn＝＋＝＋n2＋2n－. 9.一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度. （1）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？ （2）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由. 解　（1）由题意可知，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则 Sn＝na1＋d＝15n＋×（－2） ＝－n2＋16n. 当n＝8时，（Sn）max＝S8＝64， 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米， （2）不能超过