6.2.2 第1课时 函数的导数与极值（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

　　构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所涉及的不等式或方程；二是根据求导的基本法则. 6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 [学习任务] 1.了解函数极值的概念，会通过图象直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. [对应学生用书第57页] 知识点一　函数极值的定义 　　一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 （1）f（x）＜f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f（x）在x0处取极大值； （2）f（x）＞f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f（x）在x0处取极小值. 　　极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）导数为0的点一定是极值点. （×） （2）函数的极大值一定大于极小值. （×） （3）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值. （×） 知识点二　函数极值的求法与步骤 1.一般地，设函数f（x）在x0处可导，且f'（x0）＝0. （1）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＞0，对于x0右侧附近的任意x，都有f'（x）＜0，那么此时x0是f（x）的极大值点. （2）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＜0，对于x0右侧附近的任意x，都有f'（x）＞0，那么此时x0是f（x）的极小值点. （3）如果f'（x）在x0的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则x0一定不是y＝f（x）的极值点. 2.求可导函数f（x）的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数f'（x）； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）列表； （4）利用f'（x）与f（x）随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 设函数f（x）＝xex，则 （　　） A.x＝1为f（x）的极大值点 B.x＝1为f（x）的极小值点 C.x＝－1为f（x）的极大值点 D.x＝－1为f（x）的极小值点 解析　令f'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）ex＝0，得x＝－1. 当x＜－1时，f'（x）＜0；当x＞－1时，f'（x）＞0.故当x＝－1时，f（x）取得极小值. 答案　D [对应学生用书第57页] 探究一　求函数的极值 [例1]　（1）已知函数f（x）＝，则其极大值与极小值的和为　　　　.  （2）设函数f（x）＝x－aex（a∈R），求函数f（x）的极值. [解析]　（1）∵f（x）＝，x∈（0，＋∞）， ∴f'（x）＝－（x＞0）. 令f'（x）＞0⇒e－4＜x＜e2，令f'（x）＜0⇒0＜x＜e－4或x＞e2， ∴f（x）在（0，e－4）上单调递减；（e－4，e2）上单调递增；（e2，＋∞）上单调递减， f（x）极大值＝f（e2）＝，f（x）极小值＝f（e－4）＝－4e4. 则其极大值与极小值的和为－4e4. （2）由题可知f'（x）＝1－aex. ①当a≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增， ∴f（x）没有极值. ②当a＞0，f'（x）＝0时，x＝ln . 当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. ∴f（x）在x＝ln 时取得极大值ln －1，没有极小值﹒ 综上所述，当a≤0时，f（x）无极值； 当a＞0时，f（x）有极大值ln －1，无极小值. [答案]　（1）－4e4　（2）见解析 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）用方程f'（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； （4）由f'（x）在方程f'（x）＝0的根左右的符号判断f（x）在这个根处取极值的情况. 1.函数f（x）＝xex－x2－x的极小值为　　　　.  解析　f'（x）＝ex＋xex－x－1＝（x＋1）（ex－1）. 当x＞0或x＜－1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜0时，f'（x）＜0， 所以函数f（x）在（0，＋∞）和（－∞，－1）上递增；在（－1，0）上递减， 所以函数f（x）＝xex－x2－x的极小值为f（0）＝0. 答案　0 2.已知函数f（x）＝（a≠0），求f（x）的单调区间与极值. 解　f'（x）＝ ＝. 令g（x）＝－2ax2－（8a2－2）x＋8a，g（x）＝－2（ax－1）（x＋4a）＝0有两根x＝或x＝－4a. （1）当a＞0时，f（x）与g（x）的情况如下： x （－∞，－4a） －4a g（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 减 极小 增 极大