6.2.1 导数与函数的单调性（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.1　导数与函数的单调性 [学习任务] 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间. [对应学生用书第52页] 知识点一　函数的单调性与其导数的正负的关系 定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）＞0 单调递增 f'（x）＜0 单调递减 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上单调递减. （×） （2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0. （×） （3）若在区间（a，b）内f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（a，b）. （×） 知识点二　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如下表： 函数图象 导数 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 函数值 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 图象特点 越来越陡峭 越来越平缓 越来越陡峭 越来越平缓 已知函数的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列四个图象中为该函数图象的是 （　　） 解析　在（－1，1）上，f'（x）＞0，因此函数y＝f（x）在（－1，1）上单调递增，易知四个选项都符合；在（－1，0）上，f'（x）单调递增，故y＝f（x）在（－1，0）上递增得越来越快.在（0，1）上，f'（x）单调递减，故y＝f（x）在（0，1）上递增得越来越慢. 答案　B [对应学生用书第53页] 探究一　函数图象与导数图象之间的关系 [例1]　（1）如果函数y＝f（x）的图象如图所示，那么导函数y＝f'（x）的图象可能是 （　　） （2）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是 （　　） [解析]　（1）由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足. （2）由导函数图象可知，f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递减，在（－2，0）上单调递增，故选A. [答案]　（1）A　（2）A 　　（1）函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则y＝f（x）在（a，b）上单调递增；若f'（x）＜0，则y＝f（x）在这个区间上单调递减；若恒有f'（x）＝0，则y＝f（x）是常数函数，不具有单调性. （2）函数图象变化的越快，f'（x）的绝对值越大，不是f'（x）的值越大. 1.如图是函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，则下面判断正确的是 （　　） A.在区间（－2，1）上f（x）是增函数 B.在区间（1，3）上f（x）是减函数 C.在区间（4，5）上f（x）是增函数 D.在区间（3，5）上f（x）是增函数 解析　由导函数f'（x）的图象知在区间（4，5）上，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（4，5）上单调递增. 答案　C 2.已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是 （　　） 解析　由f'（x）图象可知f'（0）＝0，f'（2）＝0，f（x）在区间[0，2]上的增长速度先快后慢，A选项符合. 答案　A 探究二　利用导数求不含参数函数的单调区间 [例2]　求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝x－x3； （2）f（x）＝x2－ln x. [解]　（1）f'（x）＝1－3x2，x∈R. 令1－3x2＞0，解得－＜x＜， 因此函数f（x）的单调递增区间为. 令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞， 因此函数f（x）的单调递减区间为，. （2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）. f'（x）＝2x－＝. 因为x＞0，所以x＋1＞0. 由f'（x）＞0，解得x＞， 所以函数f（x）的单调递增区间为； 由f'（x）＜0，解得x＜.又x∈（0，＋∞）， 所以函数f（x）的单调递减区间为. 利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x）； （3）由f'（x）＞0（或f'（x）＜0），解出相应的x的范围.当f'（x）＞0时，f（x）在相应的区间上是增函数；当f'（x）＜0时，f（x）在相应区间上是减函数； （4）结合定义域写出单调区间. 注意：当单调区间有多个时，不要写成并集. 3.已知函数f（x）＝x2＋2x－3ln x，则f（x）的单调递减区间是 （　　） A.（－3，1） B.（0，1） C.（－∞