第6章 导数及其应用 章末优化提升（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

[对应学生用书第66页] 考点一　导数的几何意义及应用 [例1]　（1）若直线y＝2x＋t与曲线y＝2ln x相切，则实数t的值为　　　　.  （2）曲线f（x）＝ln x＋3过点（－1，1）的切线方程为　　　　　　.  [解析]　（1）设直线与曲线切于点（m，n）， 由y＝2ln x，得y'＝，则＝2，得m＝1， 所以n＝2ln m＝2ln 1＝0，所以切点为（1，0）， 所以0＝2＋t，得t＝－2. （2）设切点坐标为（x0，ln x0＋3）， ∵f'（x）＝，∴f'（x0）＝， ∴切线方程为y－ln x0－3＝（x－x0）. ∵切线过点（－1，1），∴1－ln x0－3＝（－1－x0）， 化简得1＋ln x0＝，解得x0＝1， ∴切线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0. [答案]　（1）－2　（2）x－y＋2＝0 　　利用导数求切线方程的关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点（x0，y0）的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，若不是切点可先设切点为Q（x1，y1），由＝f'（x1）和y1＝f（x1），求出x1，y1的值，转化为第一种类型. 1.请你举出与函数f（x）＝e2x－1在（0，0）处具有相同切线的一个函数　　　　　　.  解析　由题，f'（x）＝2e2x，故f'（0）＝2e0＝2，故函数f（x）＝e2x－1在原点（0，0）处的切线方程为y＝2x；故可考虑如函数g（x）＝ax2＋bx，此时g'（x）＝2ax＋b，故g'（0）＝b＝2.取a＝1，此时g（x）＝x2＋2x. 答案　y＝x2＋2x（答案不唯一） 2.曲线y＝在x＝1处的切线与曲线y＝ax2－ax相切，则a＝　　　　.  解析　因为y＝，所以y'＝＝，则y'｜x＝1＝＝1，且切点坐标为（1，0），故切线方程为y＝x－1.又y＝ax2－ax，则y'＝2ax－a，设切点坐标为（x0，y0），则解得 答案　1 考点二　函数的单调性、极值、最值 [例2]　已知f（x）＝ax－ln x，a∈R. （1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间； （2）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]上的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. [解]　（1）当a＝1时，f（x）＝x－ln x，定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝1－＝. 当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 综上，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. （2）f'（x）＝a－， 假设存在实数a，使f（x）＝ax－ln x在（0，e]上有最小值3. ①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0， 所以f（x）在（0，e]上单调递减， 所以f（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝（舍去）； ②当0＜＜e时，则当x∈，f'（x）＜0，x∈，f'（x）＞0，f（x）在上单调递减，在上单调递增， 所以f（x）min＝f＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件； ③当≥e时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0， 所以f（x）在（0，e]上单调递减， 所以f（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝（舍去）. 综上，存在实数a＝e2，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3. 　　（1）极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质.另外，函数有极值未必有最值，反之亦然. （2）判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： ①确定函数f（x）的定义域， ②解方程f'（x）＝0的根， ③检验f'（x）＝0的根的两侧f'（x）的符号： 若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值； 若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值. 3.已知x＝1是f（x）＝2x＋＋ln x的一个极值点. （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）设函数g（x）＝f（x）－，若函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围. 解　（1）∵f（x）＝2x＋＋ln x，定义域为（0，＋∞）， ∴f'（x）＝2－＋＝. ∵x＝1是f（x）＝2x＋＋ln x的一个极值点， ∴f'（1）＝0，即2－b＋1＝0. 解得b＝3，经检验，适合题意，∴b＝3. ∴f'（x）＝2－＋＝， 令f'（x）＞0，得x＞1. ∴函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）. （2）函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立. 又g'（x）＝2＋＋，g'（x）≤0在[1，2]上恒成立等价于当x∈[1，2]时，a≤－2x2－x恒成立. 又t＝－2x2－x＝－2＋，