6.3 利用导数解决实际问题（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

6.3　利用导数解决实际问题 [学习任务] 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. [对应学生用书第63页] 知识点　生活中的最优化问题 1.最优化问题的概念 　　在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略.这些都是最优化问题. 2.解决最优化问题的基本步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x）； （2）求导函数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值； （4）依据实际问题的意义给出答案. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）用导数求出函数的最大值（最小值）就是求实际问题中的最大值（最小值）. （×） （2）生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题. （√） （3）解决应用问题的关键是建立数学模型. （√） [对应学生用书第63页] 探究一　几何中的最值问题 [例1]　在边长分别为6 dm和4 dm的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿图中虚线折起，做成一个无盖的长方体铁皮箱.切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最大？ [解]　设切去的小正方形边长为x dm，其中x∈（0，2）， 则长方体铁皮箱的底面长为（6－2x）dm，宽为（4－2x）dm，高为x dm， 则铁皮箱的容积V（x）＝（6－2x）（4－2x）x，x∈（0，2），则V'（x）＝12x2－40x＋24. 令V'（x）＝0，解得x＝（舍去）或x＝. 当x∈时，V'（x）＞0，函数单调递增； 当x∈时，V'（x）＜0，函数单调递减. ∴函数V（x）在x＝时取得最大值， 即当切去的正方形边长为 dm时，铁皮箱的容积最大. 　　（1）几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题. （2）解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式.如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程. 1.设计一个蒙古包型的仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是圆锥，下部分的形状是圆柱（如图所示），圆柱的上底面与圆锥的底面相同，要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆锥的母线长是1，则该仓库的最大容积是　　　　.  解析　设圆锥的母线与轴的夹角为θ，则圆锥的底面半径为sin θ，高为cos θ， 则仓库的容积为 V＝πsin2θcos θ＋2πsin2θcos θ＝sin2θcos θ＝（cos θ－cos3θ），0＜θ＜. 令t＝cos θ，y＝t－t3， 则0＜t＜1，y'＝1－3t2.当0＜t＜时，y'＞0；当＜t＜1时，y'＜0， 所以t＝时，y取最大值，此时V取最大值. 答案　 探究二　用料最省、成本（费用）最低问题 [例2]　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10）.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k的值及f（x）的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？并求出最小值. [解]　（1）由题设，每年能源消耗费用为 C（x）＝（0≤x≤10）， 再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝. 而建造费用为C1（x）＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）. （2）f'（x）＝6－. 令f'（x）＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－（舍去）. 当0＜x＜5时，f'（x）＜0； 当5＜x＜10时，f'（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元. 　　（1）用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. （2）利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f'（x）＝0时，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值. 2.甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/时）的函数关系是P＝v