6.2.2 第2课时 函数的导数与最值（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　函数的导数与最值 [学习任务] 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值. [对应学生用书第59页] 知识点一　函数最值的定义 1.一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2.对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最大值. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得. （×） （2）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. （×） （3）函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值. （√） 知识点二　求函数的最大值与最小值的步骤 　　函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数f（x）在区间（a，b）上的极值； （2）将函数f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 函数f（x）＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最小值是 （　　） A.4 B.0 C.2 D.－2 解析　令f'（x）＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2. f（0）＝2，f（－1）＝－2，f（1）＝0，故函数的最小值为－2. 答案　D [对应学生用书第60页] 探究一　不含参数的函数最值问题 [例1]　求下列各函数的最值： （1）f（x）＝－x3＋3x，x∈[－，3]； （2）f（x）＝x2－（x＜0）. [解]　（1）f'（x）＝3－3x2＝3（1－x）（1＋x）. 令f'（x）＝0，得x＝1或x＝－1. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： x － （－，－1） －1 （－1，1） 1 （1，3） 3 f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ －18 所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极值点，且f（1）＝2，f（－1）＝－2. 又因为f（x）在区间端点处的取值为f（－）＝0，f（3）＝－18， 所以f（x）max＝2，f（x）min＝－18. （2）f'（x）＝2x＋.令f'（x）＝0，得x＝－3. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： x （－∞，－3） －3 （－3，0） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝－3时，f（x）取得极小值，也就是最小值，故f（x）的最小值为f（－3）＝27，无最大值. 利用导数求函数最值的方法 （1）若函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，在区间（a，b）内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点. （2）求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值. 1.求下列各函数的最值： （1）f（x）＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； （2）f（x）＝x＋sin x，x∈[0，2π]. 解　（1）f'（x）＝3x2－6x＋6＝3（x2－2x＋2）＝3（x－1）2＋3. ∵f'（x）在（－1，1）内恒大于0， ∴f（x）在[－1，1]上为增函数. 故当x＝－1时，f（x）min＝－12； 当x＝1时，f（x）max＝2， 即f（x）的最小值为－12，最大值为2. （2）f'（x）＝＋cos x，令f'（x）＝0， 又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝. ∴f'（x）＞0⇒0＜x＜或＜x＜2π； f'（x）＜0⇒＜x＜， ∴函数f（x）在和上单调递增； 在上单调递减. 计算得f（0）＝0，f（2π）＝π，f＝＋，f＝－. 所以当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝0； 当x＝2π时，f（x）有最大值f（2π）＝π. 探究二　含参数的函数最值问题 [例2]　已知函数f（x）＝－ln x，m∈R. （1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值； （2）试讨论函数f（x）在区间[1，＋∞）上的最大值. [解]　（1）由题意，得f'（x）＝，所以f'（2）＝. 由于函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x－y＝0平行， 所以＝1，解得n＝6.