6.1.3 基本初等函数的导数（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.3　基本初等函数的导数 [学习任务] 1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. [对应学生用书第46页] 知识点一　导函数 　　一般地，如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函数，记作f'（x）（或y'，yx'），即f'（x）＝y'＝yx'＝. 导函数通常也简称为导数. 知识点二　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f（x）＝C，其中C为常数 f'（x）＝0 f（x）＝x f'（x）＝1 f（x）＝x2 f'（x）＝2x f（x）＝x3 f'（x）＝3x2 f（x）＝ f'（x）＝－ f（x）＝ f'（x）＝ 知识点三　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝αxα－1 f（x）＝sin x f'（x）＝cos x f（x）＝cos x f'（x）＝－sin x f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝axln a f（x）＝ex f'（x）＝ex f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ f（x）＝ln x f'（x）＝ 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）若y＝，则y'＝×2＝1. （×） （2）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e. （×） （3）若y＝sin 60°，则y'＝cos 60°. （×） [对应学生用书第46页] 探究一　利用导数公式求函数的导数 [例1]　求下列函数的导数： （1）y＝10x； （2）y＝lg x； （3）y＝lox； （4）y＝； （5）y＝－1. [解]　（1）y'＝（10x）'＝10xln 10. （2）y'＝（lg x）'＝. （3）y'＝'＝＝－. （4）y'＝（）'＝'＝＝. （5）∵y＝－1＝sin2＋2sin cos ＋cos2－1＝sin x， ∴y'＝（sin x）'＝cos x. 应用求导公式应注意的问题 求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误. 1.求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝lg 5； （4）y＝3lg ； （5）y＝2cos2－1. 解　（1）y'＝'＝ln ＝－＝－e－x. （2）y'＝'＝ln ＝＝－10－xln 10. （3）∵y＝lg 5是常数函数，∴y'＝（lg 5）'＝0. （4）∵y＝3lg ＝lg x，∴y'＝（lg x）'＝. （5）∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y'＝（cos x）'＝－sin x. 探究二　利用导数公式解决切线问题 [例2]　（1）函数y＝cos x在点处的切线方程是 （　　） A.y＝x－ B.y＝x＋ C.y＝－x＋ D.y＝－x－ （2）若曲线y＝的一条切线经过点（8，3），则此切线与曲线的切点坐标为 （　　） A.（4，2） B.（9，3） C.（4，2）或（9，3） D.（4，2）或（16，4） [解析]　（1）由y＝cos x，得y'＝－sin x，所以切线的斜率为k＝－sin＝1，所以所求的切线方程为y＝x＋，故选B. （2）设切点为（x0，），∵y'＝，∴＝，∴x0＋8＝6，∴（x0－4）（x0－16）＝0，∴x0＝4或16，∴切点坐标为（4，2）或（16，4）. [答案]　（1）B　（2）D 　　（1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. （2）求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 2.已知函数f（x）＝在点x＝x0处的切线的倾斜角是，则x0的值为 （　　） A. B. C. D.1 解析　由题意知f'（x0）＝＝tan ＝1⇒x0＝. 答案　A 3.设函数f（x）＝log3x－1的图象与x轴相交于点P，则该函数在P点处切线的斜率为 （　　） A.3log3e B.3ln 3 C.log3e D.ln 3 解析　因为f（x）＝log3x－1，所以令f（x）＝0，得x＝3，故P（3，0）.又f'（x）＝，所以f'（3）＝＝log3e. 故该函数在P点处切线的斜率为log3e. 答案　C 探究三　利用导数公式求最值问题 [例3]　已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线