5.3.1 第1课时 等比数列的定义（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 [学习任务] 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. [对应学生用书第17页] 知识点一　等比数列的定义 1.一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. 2.递推公式形式的定义：＝q（n∈N＋且n≥2）. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列. （√） （2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. （×） （3）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. （×） （4）常数列一定为等比数列. （×） 知识点二　等比数列的通项公式 1.通项公式：若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1（n∈N＋）. 2.通项公式的推广和变形 若等比数列{an}的公比为q，则 an ＝a1qn－1 ① ＝amqn－m ② ＝·qn. ③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q＞0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数. 1.已知数列{an}成等比数列.若a2＝4，a5＝－，则数列{an}的通项公式是　　　　.  解析　由a5＝a2q3，得－＝4q3，所以q＝－. an＝4，n∈N*. 答案　an＝4，n∈N* 2.写出一个公比q＝的递增等比数列的通项公式　　　　.  解析　依题意，{an}是公比q＝的递增等比数列的通项公式，故可填an＝－.（答案不唯一） 答案　an＝－（答案不唯一） [对应学生用书第18页] 探究一　等比数列的基本运算 [例1]　在等比数列{an}中： （1）a4＝2，a7＝8，求an； （2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解]　（1）因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. （2）方法一　因为 由得q＝，从而a1＝32.又an＝1，所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. 　　与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1·qn－1（a1q≠0）中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量.求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果. 1.若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是 （　　） A.405 B.－405 C.135 D.－135 解析　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405. 答案　A 2.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝　　　　.  解析　由已知可得＝，即（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，所以an＝4×. 答案　4× 探究二　等比数列的判定与证明 [例2]　数列{an}满足a1＝1，Sn＋1＝4an＋3. （1）求证：数列{an＋1－2an}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. [解]　（1）证明：当n＝1时，a1＝1，S2＝a1＋a2＝4a1＋3， 解得a2＝6； 当n≥2时，由Sn＋1＝4an＋3可知，Sn＝4an－1＋3， 两式作差可得an＋1＝4an－4an－1， 即an＋1－2an＝2（an－2an－1）. 又a2－2a1＝4，所以an－2an－1≠0，所以＝2. 所以数列{an＋1－2an}是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）知an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1， 两边同除以2n＋1，得－＝1. 又＝，所以数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴＝＋（n－1）＝，整理得an＝2n－1（2n－1）. 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1（2n－1）. 判断一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：若数列{an}满足＝q（n∈N＋，q为常数且不为零）或＝q（n≥2且n∈N＋，q为常数且不为零），则数列{an}是等比数列. （2）通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1（a1≠0，q≠0），则数列{an}是等比数列. （3）构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造新数列{an＋x}，方法是把an＋1＋x＝k（an＋x）与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可. 3.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2（n∈N*），数列{bn}满足b1＝2，bn＝3bn－1＋2（n≥2，n∈