第11章 立体几何初步 章末优化提升（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

[对应学生用书第81页] 考点一　几何体表面积与体积的计算 [例1]　（1）刍甍，中国古代数学中的一种几何体.《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”.如图为一刍甍的直观图，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为 （　　） A.14 B.8 C.16 D.8 [解析]　 如图所示，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积，根据立体图形可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形.其中，等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为＝；等腰三角形的底边长为2，高为＝，故侧面积为S＝2×＋2××2×＝8.即需要茅草覆盖面积至少为8，故选B. [答案]　B （2）在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2AD＝4，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点F，则三棱锥F －DCE的外接球的体积为 （　　） A. B.π C. D. [解析]　 由题意可得三棱锥F －DCE是正四面体，且每条边长为2，则正四面体所在的正方体的棱长为，正方体体对角线即为外接球的直径，所以外接球的半径为××＝，所以外接球体积为×π×＝π，故选B. [答案]　B 　　空间几何体表面积、体积的求解策略 　　（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. （2）求不规则几何体的表面积（体积）时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积（体积），再通过求和或作差求得几何体的表面积（体积），即切割法的应用. 1.《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈＝十尺）.则该五面体的体积为 （　　） A.66立方尺 B.78立方尺 C.84立方尺 D.92立方尺 解析　 如图，在DC，EF上取G，H，使得DG＝EH＝AB，连接BG，BH，GH，CH.故多面体的体积V＝VADE－BGH＋VB－CGHF＝S直截面·AB＋×（CG＋HF）×7×3 ＝×7×3×6＋×（4×2）×7×3＝84，故选C. 答案　C 2.若一个圆台如图所示，则其表面积等于 （　　） A.6＋5π B.11π C.6π＋5π D.3π＋5π 解析　由题意可知，圆台的上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝2，所以圆台的母线长l＝＝，则圆台的侧面积为S侧＝（r＋R）πl＝（1＋2）·π·＝3π， 圆台的底面积S底＝πr2＋πR2＝π＋4π＝5π，所以圆台的表面积为S＝5π＋3π. 答案　D 考点二　空间中平行关系的证明 [例2]　如图甲，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上. （1）若PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC； （2）如图乙所示，若Q满足PQ∶QD＝2，PM＝tPA，当t为何值时，BM∥平面AQC. [解]　（1）证明：因为PM∶MA＝PQ∶QD， 所以QM∥AD. 因为AD∥BC，所以QM∥BC. 因为QM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以QM∥平面PBC. 因为BN∶ND＝PQ∶QD，所以QN∥PB. 因为QN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC， 所以QN∥平面PBC. 因为QM∩QN＝Q，QM⊂平面MNQ，QN⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PBC. （2）连接AC交BD于O，连接OQ，取PQ的中点G，连接BG，则BG∥OQ. 因为QO⊂平面AQC，BG⊄平面AQC， 所以BG∥平面AQC. 取PA的中点M，连接GM，则GM∥AQ. 因为AQ⊂平面AQC，GM⊄平面AQC， 所以GM∥平面AQC. 因为BG∩GM＝G，所以平面BGM∥平面AQC. 因为BM⊂平面BGM，所以BM∥平面AQC，此时M为PA的中点， 所以PM＝PA.因为PM＝tPA，所以t＝. 　　1.判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法： （1）利用线面平行的判定定理. （2）利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 2.判断面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理. 3.如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AE∥