第10章 复数 章末优化提升（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

[对应学生用书第32页] 考点一　复数的概念 [例1]　当实数a为何值时，z＝a2－2a＋（a2－3a＋2）i， （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）对应的点在第一象限内； （4）复数z对应的点在直线x－y＝0上. [解]　（1）z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. （2）z为纯虚数， 由a2－2a＝0可得，a＝0或a＝2； 由a2－3a＋2≠0可得，a≠1且a≠2， 故a＝0. （3）z对应的点在第一象限，则 由a2－2a＞0可得，a＜0或a＞2； 由a2－3a＋2＞0可得，a＜1或a＞2， 所以a＜0或a＞2. 所以a的取值范围是（－∞，0）∪（2，＋∞）. （4）依题设（a2－2a）－（a2－3a＋2）＝0，所以a＝2. 　　处理复数概念问题的两个注意点 （1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部. （2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 1.已知复数z＝m－1＋（m2－2m－3）i，其中m∈R. （1）若z是虚数时，求m的取值范围； （2）若复数表示的点在第四象限，求m的取值范围. 解　（1）∵z是虚数，∴m2－2m－3≠0， 解得m≠－1且m≠3. （2）∵复数z表示的点在第四象限， ∴即得1＜m＜3， ∴m的取值范围为（1，3）. 考点二　复数的几何意义 [例2]　（2022·普宁高二期中）已知复数z满足iz＝2＋4i. （1）求｜z｜； （2）在复平面内，为z的共轭复数.若和z对应的向量分别是，，其中O为坐标原点，求向量. [解]　（1）令复数z＝a＋bi，a，b∈R， ∵复数z满足iz＝2＋4i，∴i（a＋bi）＝－b＋ai＝2＋4i， ∴b＝－2，a＝4，∴z＝4－2i，∴｜z｜＝2. （2）z的共轭复数＝4＋2i， ∵和z对应的向量分别是，， ∴＝（4，2），＝（4，－2），＝－＝（0，－4）. 　　在复平面内确定复数对应点的步骤 （1）由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）. （2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）. 2.（2022·上海高二月考）已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），满足｜z｜＝，z2的实部为3，且z在复平面内对应的点位于第一象限. （1）求z，和z＋2； （2）设z，，z＋2在复平面内对应点分别为A，B，C，试判断△ABC的形状，并求△ABC的面积. 解　（1）∵z2＝（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi，∴a2－b2＝3. ∵z在复平面内对应的点位于第一象限， ∴a＞0，b＞0.又｜z｜＝＝， 则由得a＝2，b＝1， ∴z＝2＋i，＝2－i，z＋2＝6－i. （2）由（1）可得A（2，1），B（2，－1），C（6，－1）， ∴｜AB｜＝2，｜BC｜＝4，｜AC｜＝2， ∴｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，∴AB⊥BC， 故△ABC为直角三角形. 在△ABC中，∵｜AB｜＝2，｜BC｜＝4， ∴△ABC的面积S△ABC＝｜BA｜·｜BC｜＝4. 考点三　复数的四则运算 [例3]　（1）（多选）（2022·三明高一月考）若实数x，y满足（x＋i）（3＋yi）＝2＋4i，则 （　　） A.1＋yi的共轭复数为1－i B.xy＝1 C.｜y＋i｜的值可能为 D.y－3x＝－2 [解析]　因为（x＋i）（3＋yi）＝（3x－y）＋（3＋xy）i＝2＋4i，所以3x－y＝2，3＋xy＝4，即y－3x＝－2，xy＝1，则y－＝－2，解得y＝1或y＝－3，故A错误，B，C，D均正确. [答案]　BCD （2）（多选）（2022·厦门高二检测）若复数z满足z＋｜z｜＝8＋4i（i为虚数单位），则下列结论正确的是 （　　） A.z＝－3＋4i B.｜z｜＝5 C.z的共轭复数＝3＋4i D.z是方程x2－6x＋25＝0的一个根 [解析]　设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋｜z｜＝a＋＋bi＝8＋4i，可得解得所以z＝3＋4i，A错；｜z｜＝＝5，B对；＝3－4i，C错；解方程x2－6x＋25＝0，即（x－3）2＝－16＝（±4i）2，解得x＝3＋4i或x＝3－4i，D对. [答案]　BD 　　进行复数代数运算的策略 （1）复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算. ①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算（合并同类项）. ②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，在除法运算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘分母的共轭复数）. （2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式. （3）利用复数相等，可实现复数问题的实数化. 3