11.2 平面的基本事实与推论（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

11.2　平面的基本事实与推论 [学习任务] 1.理解平面的基本事实与推论. 2.能运用平面的基本事实与推论去解决有关问题. [对应学生用书第56页] 知识点　平面的基本事实及作用 1.基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基本 事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 既是判定两平面相交的依据； 也可用于判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 　判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）空间不同三点确定一个平面. （×） （2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. （√） （3）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. （×） （4）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A. （×） [对应学生用书第57页] 探究一　共面问题 [例1]　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. [证明]　方法一　（纳入法） ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二　（重合法） ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 　　证明多线共面的两种方法 （1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. （2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合. 1.已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 证明　如图所示，∵a∥b， ∴过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面. 探究二　三点共线问题 [例2]　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. [证明]　方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线. 　　证明三点共线的方法 2.在长方体ABCD －A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上. 证明　因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C， A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C， 所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1. 又A1C∩平面AB1D1＝P， 所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1， 所以P∈平面AA1C1C， 所以P∈直线AO1，即O1，P，A三点在同一条直线上. 探究三　三线共点问题 [例3]　在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点. [证明]　连接GE， HF. 因为E， G分别为BC， AB中点， 所以GE􀰿AC. 因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以HF􀰿AC. 从而GE∥HF且GE≠HF，故G， E