11.1.4 棱锥与棱台（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

11.1.4　棱锥与棱台 [学习任务] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. [对应学生用书第44页] 知识点一　棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 定义 图形及表示 相关概念 分类 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥 如图可记作：棱锥P－ABCD或 棱锥P－AC 底面（底）：多边形的面 侧面：有公共顶点的各三角形 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度） 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 2.特殊的棱锥 正棱锥 正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高. 　判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）棱锥的所有面都可以是三角形. （√） （2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥. （×） （3）若一个棱锥的侧面都是等腰三角形，则这个棱锥是正棱锥. （×） 知识点二　棱台的结构特征 1.棱台的结构特征 定义 图形及表示 相关概念 分类 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图可记作：棱台ABCD－A'B'C'D' 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度） 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台…… 2.特殊的棱台 正棱台：由正棱锥截得的棱台. 正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高. [思考]　棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？为什么？ [提示]　一定相交于一点.因为棱台可以看成是由棱锥用平行于底面的平面截得的，所以棱台的各侧棱延长后形成一个棱锥，其侧棱相交于一点. [对应学生用书第45页] 探究一　棱锥、棱台的结构特征 [例1]　（1）有下列三种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有 （　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 [解析]　①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误. [答案]　A （2）下列说法中，正确的是 （　　） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行. A.① B.①② C.② D.③ [解析]　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错误. [答案]　B 　　判断棱锥、棱台的方法 （1）举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法. （2）直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 1.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是 （　　） A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 解析　正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，由正六棱锥的高h、底面的边长r、侧棱长l构成直角三角形，得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等. 答案　D 2.给出下列命题： ①有两个面互相平行且全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱； ②有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的封闭几何体一定是五棱锥； ③有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台. 其中正确的命题是 （　　） A.②③ B.①② C.①③ D.①②③ 解析　①由棱柱的定义知①正确；②由棱锥的定义知②正确；③棱台是由平行于底面的棱锥所截得的，有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，四条侧棱不一定交于一点，则③不一定是四棱台，故③错误.故正确的是