11.1.3 多面体与棱柱（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

11.1.3　多面体与棱柱 [学习任务] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱的结构特征. 2.能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. [对应学生用书第41页] 知识点一　多面体 1.多面体的定义及特征 类别 多面体 定义 由若干个平面多边形所围成的封闭几何体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 面对角线：连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线 体对角线：连接不在同一面上两个顶点的线段 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部） 2.表面积（或全面积）：多面体所有面的面积之和. 1.下列几何体不是多面体的是 （　　） 解析　对于A，该几何体是球，不符合多面体的定义；对于B，该几何体是三棱柱，是多面体；对于C，该几何体是棱台，是多面体；对于D，该几何体是三棱锥，是多面体，故选A. 答案　A 2.围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是 （　　） 解析　因为长方体图形的各个面都是平的，所以该几何体为多面体，故选A. 答案　A 知识点二　棱柱 1.棱柱的定义及表示 名称 棱柱 特征性质或定义 条件：①有两个互相平行的面； ②顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形 图形表示及相关名称 棱柱ABCDE－A'B'C'D'E'（或棱柱AC'） 2.棱柱的侧面积：所有侧面的面积之和. 3.棱柱的分类 （1）按底面多边形的边数：棱柱 （2）按侧棱与底面是否垂直： 棱柱 （3）特殊的四棱柱 　判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）棱柱的侧面都是平行四边形. （√） （2）棱柱的两个底面是全等的多边形. （√） （3）棱柱最多有两个面不是四边形. （√） [对应学生用书第42页] 探究一　棱柱的结构特征 [例1]　（1）下列关于棱柱的说法正确的个数是 （　　） ①四棱柱是平行六面体； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱； ④底面是正多边形的棱柱是正棱柱. A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]　四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；由棱柱的定义可得③正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确. [答案]　A （2）（多选）下列命题中不正确的是 （　　） A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 [解析]　柱体是有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行的几何体.所以A，B选项错误.对于C，如果一个棱柱有两个平行的侧面是矩形，这个棱柱可能是斜棱柱，C错误.对于D，根据直棱柱的知识可知D选项正确.故选ABC. [答案]　ABC 　　棱柱结构的辨析方法 （1）扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形. ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. （2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 1.下列说法中正确的是 （　　） A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 C.棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 D.在棱柱的面中，至少有两个面互相平行 解析　对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确. 答案　D 探究二　棱柱的计算问题 [例2]　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. [解]　 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝＋＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. S表＝S侧＋S▱ABCD＋＝160＋2×BD·AC ＝160＋40. 　　棱柱侧面积、表面积求法技巧 多面体的侧面积是所有侧面的面