第11章 专题3 求空间角（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第十一章　 立体几何初步 专题3　求空间角 　　空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求.空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称.空间角的计算思想主要是转化，即把空间角转化为平面角，把角的计算转化为三角形边角关系求解.空间角的求法一般是：一找、二证、三计算. 专题3　求空间角 题型一　异面直线所成的角 [例1]　（1）已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为正方形，且AB＝2，AA1＝4，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 　　　　⁠.  [解析]　取A1B1中点F，连接AE，EF，AF. 专题3　求空间角 则EF∥B1C1.又BC∥B1C1，则BC∥EF， 则∠AEF为异面直线AE与BC所成的角或其补角. 又在△AEF中，EF⊥AF，EF＝2，AF＝，则AE＝， 则cos ∠AEF＝＝， 则异面直线AE与BC所成角的余弦值为. [答案]　 专题3　求空间角 （2）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6.求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值. 专题3　求空间角 [解]　把正三棱柱ABC－A1B1C1补为正四棱柱ABCE－A1B1C1E1，如图所示，连接C1E，BE. 专题3　求空间角 因为在正四棱柱ABCE－A1B1C1E1中，AB1∥C1E，故∠BC1E或其补角即为异面直线AB1与BC1所成角.因为BC1＝C1E＝＝10，BE＝＝8， 在△BC1E中，根据余弦定理，得cos ∠BC1E＝＝， 所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 专题3　求空间角 　　（1）平移法，即通过作直线的平行线的方法，把异面直线所成的角转化到某个三角形中，进而求解. （2）补形法是立体几何中的一种常见方法，通过补形，可以将问题转化为易于研究的几何体来处理，当通过平移法不能求异面直线所成的角时，常常通过补形来解决. 专题3　求空间角 题型二　直线与平面所成的角 [例2]　（1）如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面ABC，且AB＝1，AA'＝2，则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 　　　　⁠.  专题3　求空间角 [解析]　取A'B'的中点O，连接OC'，OB. 因为在三棱柱ABC－A'B'C'中，底面ABC是等边三角形，且AA'⊥底面ABC， 所以C'C⊥平面A'B'C'，C'O⊥A'B'.因为AA'∥C'C，所以C'O⊥AA'.因为AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B'⊂平面ABB'A'，所以C'O⊥平面ABB'A'. 因为BO⊂平面ABB'A'，所以C'O⊥BO， 所以∠C'BO是直线BC'与平面ABB'A'所成角. 因为AB＝1，AA'＝2，所以BC'＝＝，C'O＝＝， 专题3　求空间角 所以sin ∠C'BO＝＝＝， 所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为. [答案]　 专题3　求空间角 　　直线与平面所成角的范围：0°≤θ≤90°.方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）. 专题3　求空间角 题型三　二面角 [例3]　（1）如图，边长为a的正方形ABCD外有一点P，且PA⊥平面ABCD，PA＝a，二面角P－BD－A的正切值为 　　　　⁠.  专题3　求空间角 [解析]　设AC∩BD＝O，连接PO， 因为PA⊥平面ABCD，所以AO是PO在平面ABCD内的射影，PA⊥AO. 在平面ABCD内，BD⊥AO，所以BD⊥PO，所以∠POA是二面角P－BD－A的平面角. 由AO＝a，PA＝a，得tan ∠POA＝＝＝. [答案]　 专题3　求空间角 （2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角B－B1C－A的正弦值. [解]　由直三棱柱性质，得平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC. 过A作AN⊥BC，垂足为N. 则AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）. 在平面BCB1内过N作NQ⊥B1C，垂足为Q，连接QA. 则∠NQA即为二面角的平面角. ∵CA⊥BB1，CA⊥AB，BB1∩AB＝B，∴CA⊥平面ABB1，∴CA⊥B1A. 专题3　求空间角 又AB＝BB1＝1，得AB1＝. ∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB＝30°，∴B1C＝2， 则在Rt△B1AC中，由勾股定理，得AC＝，∴AQ＝1. 在Rt△BAC中，AB＝1，AC＝，得AN＝. ∴sin ∠AQN＝＝. 即二面角B－B1C－A的正弦值为. 专题3　求空间角 　　（1）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所